Całki, różniczki, pochodne - zadania

[malgonka]

Czesc !
Bardzo prosze o pomoc w nastepujacych zadaniach:

zad. 1
Wyznaczyc ekstremum i monotonicznosc funkcji:
\(f(x)=xe^{-x}\)
zad. 2
Obliczyc pole obszaru ograniczonego liniami y=1/x^2, y=x, x=2
zad. 3
Obliczyć kąt między wektorami \(\vec{u}=[3, \sqrt{3} ], \ \ \ \vec{v}=[4,0]\)
zad. 4
Obliczyć różniczkę
y`-y=4x

[domino21]

zad 1.

\(f(x)=xe^{-x} \ \ D_f=R
f'(x)=e^{-x} -xe^{-x} =e^{-x}(1-x) \ \ D_{f'}=R\)

\(f'(x)=0 \ \Leftrightarrow \ e^{-x}(1-x)=0 \ \Rightarrow \ 1-x=0 \ \Rightarrow \ x=1
f(1)=1\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}\)

\(f'(x)>0 \ \Leftrightarrow \ e^{-x}(1-x)>0 \ \Rightarrow \ 1-x>0 \ \Rightarrow \x<1
f'(x)<0 \ \Leftrightarrow \ e^{-x}(1-x)<0 \ \Rightarrow \ 1-x<0 \ \Rightarrow \x>1\)

funkcja rosnąca w przedziale \((-\infty;1)\)
osiąga maksimum \(f_{max} =\frac{1}{e}\) dla \(x=1\)
funkcja malejąca w przedziale \((1;+\infty)\)

[domino21]

wykres funkcji do zad 1.

fkcja.jpg (25.4 KiB) Przejrzano 384 razy

[domino21]

zad 2.

\(|D|=\int_1^2 (x-\frac{1}{x^2})dx =\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{x} |_1^2 =2+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1=1\)

calka.jpg (18.61 KiB) Przejrzano 383 razy

[domino21]

zad 3.

\(\vec{a} \circ \vec{b}=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \alpha

[3,\sqrt{3}] \circ [4,0]=2\sqrt{3}\cdot 4\cdot \cos \alpha
12+0=8\sqrt{3}\cos\alpha
12=8\sqrt{3}\cos \alpha
\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}
\alpha=30^{\circ}\)

wektory.jpg (22.17 KiB) Przejrzano 383 razy

[domino21]

zad 4.

\(y'-y=4x\)

\(y'-y=0
\frac{dy}{dx}=y
\frac{dy}{y}=dx \ \wedge \ y\neq 0
\ln|y|=x+C, \ C\in R
|y|=e^{x+C}
\begin{cases} y=\pm e^{x+C} \\ y=0 \end{cases} \ \Rightarrow \ y=Ae^x, \ A\in R\)

\(y_s=ax+b
y_s'=a\)

\(a-ax+b=4 \ \Rightarrow \ \begin{cases} a+b=0 \\ -a=4 \end{cases} \ \Rightarrow \ \begin{cases} a=-4 \\ b=4 \end{cases} \ \Rightarrow \ y_s=-4x+4\)

\(y=y+y_s
y=Ae^x-4x+4\)

[malgonka]

Dziękuje Ci ślicznie )