nie potrafię rozwiązać następującego zadania:
Oblicz tensor bezwładności cząstki wody, przyjmując iż jest to układ 3 punktów materialnych rozmieszczonych w narożnikach trójkąta równoramiennego.
Potrafi ktoś i chciałby rozwiązać?
TENSOR BEZWŁADNOSCI
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
glodzio
- Rozkręcam się
- Posty: 40
- Rejestracja: 12 gru 2010, 10:18
- Otrzymane podziękowania: 16 razy
- Płeć:
Re: TENSOR BEZWŁADNOSCI
Witam
W zadaniu dokładnie chodzi o wyznaczenie tensora masowego momentu bezwładności dla układu trzech mas, które możemy potraktować jako punkty materialne.
Na początku przyjmę, że atomy wodoru (zaznaczone na rysunku na zielono) i atom tlenu (zaznaczony na czerwono) tworzą trójkąt o podstawie długości równej \(a\) i wysokości \(h\). Atom wodoru ma masę \(1u\) (\(u\) to jednostka masy atomowej równa ≈ \(1,6605387313 \cdot 10^{-27} kg\) ).
Ponieważ w zadaniu nie jest podane względem jakiego układu współrzędnych należy wyznaczyć tensor przyjmę, iż jest to układ przechodzący przez środek ciężkości.
Pierwsza część rozwiązania będzie polegała zatem na znalezieniu położenia środka ciężkości \(G\) podanego układu trzech mas. Ze względu na symetrię układu wyznaczymy środek ciężkości tylko wzdłuż osi Oy. Na początku przyjmujemy układ współrzędnych \(Oxy\). Dla uproszczenia późniejszych obliczeń przyjąłem, że osie układu współrzędnych przechodzą przez punkty reprezentujące atomy wodoru i atom tlenu (może to być inny dowolnie położony układ współrzędnych). Jeżeli znajdziemy odległość \(h_G\) to wówczas znajdziemy położenie środka ciężkości.
Odległość \(h_G\) obliczymy następująco:
\(h_G= {\frac{16u \cdot h+1u \cdot 0+1u \cdot 0}{2 \cdot 1u +16u}} = \frac{16u \cdot h}{18u} = \frac{16}{18}h= \frac{8}{9}h\)
W liczniku znajduje się iloczyn mas poszczególnych punktów (atomów) i ich odległości od osi Ox.
W mianowniku jest suma mas poszczególnych atomów.
Znaleźliśmy środek ciężkości. Jego położenie zgadza się z logiką, ponieważ on jest przesunięty bliżej cięższego atomu tlenu.
W środku ciężkości \(G\) umieszczamy drugi układ współrzędnych \(Gx_Gy_G\) (oś \(Oy\) pokrywa się z osią \(Gy_G\)).
Tensor masowego momentu bezwładności będziemy liczyli względem układu współrzędnych \(Gx_Gy_G\).
Tensor jest pewną wielkością w tym przypadku wielkością fizyczną mającą postać macierzy, której składnikami są:
\(I= \begin{bmatrix}
I_x & -I_{xy} \\
-I_{yx}&I_y
\end{bmatrix}\)
Wielkości kolejno oznaczają:
\(I_x\) - to masowy moment bezwładności względem osi \(Gx_G\)
\(I_y\) - to masowy moment bezwładności względem osi \(Gy_G\)
\(I_{xy}\) - to moment dewiacji (zboczenia) równy momentowi \(I_{yx}\)
Moment \(I_x\) obliczymy jako sumę iloczynów poszczególnych mas i ich kwadratów odległości od osi \(Gx_G\):
\(I_x=1u \cdot \left( -h_G\right)^2 +1u \cdot \left(-h_G \right)^2 +16u \cdot \left( h-h_G\right)^2\)
\(I_x=1u \cdot \frac{64}{81}h^2+1u \cdot \frac{64}{81}h^2+ 16u \cdot \frac{1}{81}h^2 = \frac{144}{81}u \cdot h^2\)
Moment \(I_y\) obliczymy jako sumę iloczynów poszczególnych mas i ich kwadratów odległości od osi \(Gy_G\):
\(I_y=1u \cdot \left( \frac{1}{2}a \right)^2+1u \cdot \left( -\frac{1}{2}a \right)^2+16u \cdot 0^2\)
\(I_y= \frac{1}{2}u \cdot a^2\)
W obliczeniach należy brać pod uwagę znaki (stąd wartość \(- \frac{1}{2}a\)).
Momenty dewiacji \(I_{xy}\) oraz \(I_{yx}\) obliczymy jako sumę iloczynów poszczególnych mas i ich odległości (nie kwadratów) od osi \(Gx_G\) i \(Gy_G\):
\(I_{xy}=1u \cdot \left( -h_G \right) \cdot \frac{1}{2}a + 1u \cdot \left( -h_G \right) \cdot \left(- \frac{1}{2}a \right)+16u \cdot 0 \cdot \left(h-h_G \right)\)
\(I_{xy}=-1u \cdot \frac{8}{9}h \cdot \frac{1}{2}a+1u \cdot \frac{8}{9}h \cdot \frac{1}{2}a=0=I_{yx}\)
Otrzymane wartości możemy podstawić do tensora:
\(I= \begin{bmatrix}
\frac{144}{81}u \cdot h^2 & 0 \\
0& \frac{1}{2}u \cdot a^2
\end{bmatrix}\)
Możemy również podstawić rzeczywiste wartości wymiarów \(a\) oraz \(h\).
W zadaniu dokładnie chodzi o wyznaczenie tensora masowego momentu bezwładności dla układu trzech mas, które możemy potraktować jako punkty materialne.
Na początku przyjmę, że atomy wodoru (zaznaczone na rysunku na zielono) i atom tlenu (zaznaczony na czerwono) tworzą trójkąt o podstawie długości równej \(a\) i wysokości \(h\). Atom wodoru ma masę \(1u\) (\(u\) to jednostka masy atomowej równa ≈ \(1,6605387313 \cdot 10^{-27} kg\) ).
Ponieważ w zadaniu nie jest podane względem jakiego układu współrzędnych należy wyznaczyć tensor przyjmę, iż jest to układ przechodzący przez środek ciężkości.
Pierwsza część rozwiązania będzie polegała zatem na znalezieniu położenia środka ciężkości \(G\) podanego układu trzech mas. Ze względu na symetrię układu wyznaczymy środek ciężkości tylko wzdłuż osi Oy. Na początku przyjmujemy układ współrzędnych \(Oxy\). Dla uproszczenia późniejszych obliczeń przyjąłem, że osie układu współrzędnych przechodzą przez punkty reprezentujące atomy wodoru i atom tlenu (może to być inny dowolnie położony układ współrzędnych). Jeżeli znajdziemy odległość \(h_G\) to wówczas znajdziemy położenie środka ciężkości.
Odległość \(h_G\) obliczymy następująco:
\(h_G= {\frac{16u \cdot h+1u \cdot 0+1u \cdot 0}{2 \cdot 1u +16u}} = \frac{16u \cdot h}{18u} = \frac{16}{18}h= \frac{8}{9}h\)
W liczniku znajduje się iloczyn mas poszczególnych punktów (atomów) i ich odległości od osi Ox.
W mianowniku jest suma mas poszczególnych atomów.
Znaleźliśmy środek ciężkości. Jego położenie zgadza się z logiką, ponieważ on jest przesunięty bliżej cięższego atomu tlenu.
W środku ciężkości \(G\) umieszczamy drugi układ współrzędnych \(Gx_Gy_G\) (oś \(Oy\) pokrywa się z osią \(Gy_G\)).
Tensor masowego momentu bezwładności będziemy liczyli względem układu współrzędnych \(Gx_Gy_G\).
Tensor jest pewną wielkością w tym przypadku wielkością fizyczną mającą postać macierzy, której składnikami są:
\(I= \begin{bmatrix}
I_x & -I_{xy} \\
-I_{yx}&I_y
\end{bmatrix}\)
Wielkości kolejno oznaczają:
\(I_x\) - to masowy moment bezwładności względem osi \(Gx_G\)
\(I_y\) - to masowy moment bezwładności względem osi \(Gy_G\)
\(I_{xy}\) - to moment dewiacji (zboczenia) równy momentowi \(I_{yx}\)
Moment \(I_x\) obliczymy jako sumę iloczynów poszczególnych mas i ich kwadratów odległości od osi \(Gx_G\):
\(I_x=1u \cdot \left( -h_G\right)^2 +1u \cdot \left(-h_G \right)^2 +16u \cdot \left( h-h_G\right)^2\)
\(I_x=1u \cdot \frac{64}{81}h^2+1u \cdot \frac{64}{81}h^2+ 16u \cdot \frac{1}{81}h^2 = \frac{144}{81}u \cdot h^2\)
Moment \(I_y\) obliczymy jako sumę iloczynów poszczególnych mas i ich kwadratów odległości od osi \(Gy_G\):
\(I_y=1u \cdot \left( \frac{1}{2}a \right)^2+1u \cdot \left( -\frac{1}{2}a \right)^2+16u \cdot 0^2\)
\(I_y= \frac{1}{2}u \cdot a^2\)
W obliczeniach należy brać pod uwagę znaki (stąd wartość \(- \frac{1}{2}a\)).
Momenty dewiacji \(I_{xy}\) oraz \(I_{yx}\) obliczymy jako sumę iloczynów poszczególnych mas i ich odległości (nie kwadratów) od osi \(Gx_G\) i \(Gy_G\):
\(I_{xy}=1u \cdot \left( -h_G \right) \cdot \frac{1}{2}a + 1u \cdot \left( -h_G \right) \cdot \left(- \frac{1}{2}a \right)+16u \cdot 0 \cdot \left(h-h_G \right)\)
\(I_{xy}=-1u \cdot \frac{8}{9}h \cdot \frac{1}{2}a+1u \cdot \frac{8}{9}h \cdot \frac{1}{2}a=0=I_{yx}\)
Otrzymane wartości możemy podstawić do tensora:
\(I= \begin{bmatrix}
\frac{144}{81}u \cdot h^2 & 0 \\
0& \frac{1}{2}u \cdot a^2
\end{bmatrix}\)
Możemy również podstawić rzeczywiste wartości wymiarów \(a\) oraz \(h\).