kongruencje

[ja_1991]

1) Znalezx dwie ostatnie cyfry liczb
\((9^9)^9\)
2) Rozwiazac kongruencje
20x=10 (mod 5)
34x=60 (mod 98)

[radagast]

1)
\(\left(9^9 \right)^9=9^{81}\)
kolejne potęgi 9 (oczywiście posługując się kalkulatorem ) :
\(9^0=1=100k_0+1\)
\(9^1=9=100k_1+9\)
\(9^2=81=100k_2+81\)
\(9^3=9 \cdot 9^2=9 \cdot 81=100k_3+29\)
\(9^4=9 \cdot 9^3=9 \cdot \left(100k_3+29 \right) =100k_4+61\)
\(9^5=9 \cdot 9^4=9 \cdot \left(100k_4+61 \right) =100k_5+49\)
\(9^6=9 \cdot 9^5=9 \cdot \left(100k_5+49 \right) =100k_6+41\)
\(9^7=9 \cdot 9^6=9 \cdot \left(100k_7+41 \right) =100k_7+69\)
\(9^8=9 \cdot 9^7=9 \cdot \left(100k_8+69 \right) =100k_8+21\)
\(9^9=9 \cdot 9^8=9 \cdot \left(100k_8+21 \right) =100k_9+89\)
\(9^{10}=9 \cdot 9^9=9 \cdot \left(100k_9+89 \right) =100k_{10}+1\)
uff, nareszcie się powtórzyło
...
\(9^{81}=9 \cdot 9^{80}\)

\(9^{80}=100k+1\) (bo wykładnik potęgi jest wielokrotnością10) czyli \(9^{81}=900k+9\)

Odpowiedź: dwie ostatnie cyfry liczby \(\left( 9^9\right)^9\) to 09

[octahedron]

Dwumian Newtona:
\(9^{81}=(10-1)^{81}={81\choose 0}10^{81} \cdot (-1)^{0}+{81\choose 1}10^{80} \cdot (-1)^{1}+...+{81\choose 78}10^{3} \cdot (-1)^{78}+{81\choose 79}10^{2} \cdot (-1)^{79}+
+{81\choose 80}10^{1}\cdot (-1)^{80}+{81\choose 81}10^{0} \cdot (-1)^{81}\)
na ostatnie dwie cyfry wpływ mają tylko dwa ostatnie składniki sumy
\({81\choose 80}10^{1}\cdot (-1)^{80}+{81\choose 81}10^{0} \cdot (-1)^{81}=81 \cdot 10-1=809\)
czyli dwie ostatnie cyfry to 09