Wykazać na podstawie definicji Cauchego
\(\lim_{n\to +\infty} arctgx=\frac{\pi}{2}\)
granica
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
anetaaneta1
- Stały bywalec
- Posty: 256
- Rejestracja: 12 lis 2010, 19:48
- Podziękowania: 241 razy
- Płeć:
-
radagast
- Guru
- Posty: 17549
- Rejestracja: 09 lis 2010, 07:38
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękowania: 41 razy
- Otrzymane podziękowania: 7435 razy
- Płeć:
Należy pokazać, ze
\(\forall \varepsilon >0\exist M : \left( x>M \Rightarrow |arctgx- \frac{ \pi }{2}|< \varepsilon \right)\)
No to niech \(M= \left[ \frac{1}{tg \varepsilon } \right] +1\)
wtedy:
\(x>M \Rightarrow x> \left[ \frac{1}{tg \varepsilon } \right] +1 \Rightarrow x> \frac{1}{tg \varepsilon } \Rightarrow \frac{1}{x}<tg \varepsilon \Rightarrow\frac{1}{tg(arctgx)}<tg \varepsilon \Rightarrow ctg(arctgx)<tg \varepsilon \Rightarrow
tg( \frac{ \pi }{2}- arctgx)<tg \varepsilon \Rightarrow \frac{ \pi }{2}- arctgx< \varepsilon \Rightarrow |arctgx-\frac{ \pi }{2}| < \varepsilon\)
No to udało się wskazać takie M , ze jeśli \(x>M\) to \(|arctgx- \frac{ \pi }{2}|< \varepsilon\)
\(\forall \varepsilon >0\exist M : \left( x>M \Rightarrow |arctgx- \frac{ \pi }{2}|< \varepsilon \right)\)
No to niech \(M= \left[ \frac{1}{tg \varepsilon } \right] +1\)
wtedy:
\(x>M \Rightarrow x> \left[ \frac{1}{tg \varepsilon } \right] +1 \Rightarrow x> \frac{1}{tg \varepsilon } \Rightarrow \frac{1}{x}<tg \varepsilon \Rightarrow\frac{1}{tg(arctgx)}<tg \varepsilon \Rightarrow ctg(arctgx)<tg \varepsilon \Rightarrow
tg( \frac{ \pi }{2}- arctgx)<tg \varepsilon \Rightarrow \frac{ \pi }{2}- arctgx< \varepsilon \Rightarrow |arctgx-\frac{ \pi }{2}| < \varepsilon\)
No to udało się wskazać takie M , ze jeśli \(x>M\) to \(|arctgx- \frac{ \pi }{2}|< \varepsilon\)