Wysokość trapezu

[bunio244]

Przekątne trapezu równoramiennego przecinają się pod kątem prostym, a długości podstaw to \(a\) i \(b\). Oblicz wysokość trapezu.

[octahedron]

Przekątne utworzą dwa trójkąty równoramienne prostokątne o podstawach a i b. Kąty przy ich podstawach wynoszą \(45^o\), czyli wysokość \(h_a=\frac{a}{2} tg45^o=\frac{a}{2},\ h_b=\frac{b}{2} tg45^o=\frac{b}{2},\ h=h_a+h_b=\frac{1}{2}(a+b)\)

[bunio244]

tyle wiem chodzi mi o to, jak udowodnić, że trójkąty są równoramienne, bo mój nauczyciel się uparł

[anka]

2.png (11.48 KiB) Przejrzano 337 razy

Na trapezie równoramiennym można opisać okrąg

Kąty oznaczone \(\alpha\) są równe jako kąty naprzemianległe
Kąty oznaczone \(\beta\) są równe jako kąty naprzemianległe

\(|\angle BAC|=| \angle BDC|\) - katy wpisane oparte na tych samym łuku okręgu, czyli \(\alpha=\beta\)

[octahedron]

Można też skorzystać z tego, że przekątne są równe, a oba trójkąty są podobne. Jeśli na rysunku punkt przecięcia przekątnych oznaczymy jako P, to wtedy
\(\frac{|AP|}{|CP|}=\frac{|BP|}{|DP|}
1+\frac{|AP|}{|CP|}=1+\frac{|BP|}{|DP|}
\frac{|AP|+|CP|}{|CP|}=\frac{|BP|+|DP|}{|DP|}
\frac{|DP|}{|CP|}=\frac{|BP|+|DP|}{|AP|+|CP|}=\frac{|BD|}{|AC|}=1\)