kilka zadań z analizy

[Aqois]

Jakby ktoś mógł w czymś pomóc, byłbym dozgonnie wdzięczny : )

1) wyznacz asymptoty funkcji metodą de'l hospitala \(y=xln(1+ \frac{1}{x})\)
2)wyznacz przedziały monotoniczności \(f(x)= \frac{x+2^2}{x^2-1}\)
3)wyznacz ekstrema miejscowe f\((x)=x-20 \sqrt[3]{x^2}\)
4)wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji \(f(x)= 2sinx+cos2x\) w przedziale \(A=o, \pi\)
5)przedziały wypukłości i wklesłości oraz punkty przegięcia funkcji \(f(x)=8x- \sqrt[3]{x^2}\)

W jednym wątku może być max. 5 zadań, dlatego też zadanie 6 przeniosłam do tematu http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=20482 .
Legelle

[Lbubsazob]

Zad. 4
\(f(x)=2\sin x+\cos 2x \\
f'(x)=2\cos x-2\sin 2x=2\cos x-4\sin x\cos x=2\cos x \left( 1-2\sin x\right) \\
2\cos x \left( 1-2\sin x\right)=0 \Leftrightarrow 2\cos x=0 \vee 1=2\sin x \\
\cos x=0 \Rightarrow x= \frac{\pi}{2} \\
\sin x= \frac{1}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{6} \vee x=\frac{5}{6}\pi\)

\(f(0)=0+1=1 \\
f(\pi)=0+1=1 \\
f \left( \frac{\pi}{2} \right)=2+ \left( -1\right)=1 \\
f \left( \frac{\pi}{6} \right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \\
f \left( \frac{5}{6}\pi \right)=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

\(y_{\text{max}}=\frac{3}{2} \\
y_{\text{min}}=1\)

[Lbubsazob]

Zad. 2
\(f(x)= \frac{x+2^2}{x^2-1}= \frac{x+4}{x^2-1}\) (na pewno tak miało być?)

\(D_f=\mathbb{R} \setminus \left\{-1, 1 \right\} \\
f'(x)= \frac{ \left( x^2-1\right)-2x \left( x-4\right) }{ \left( x^2-1\right)^2 }= \frac{x^2-1-2x^2+8x}{\left( x^2-1\right)^2}= \frac{-x^2+8x-1}{\left( x^2-1\right)^2} \\
-x^2+8x-1>0 \\
\Delta=60 \\
\sqrt{\Delta}=2\sqrt{15} \\
x_1= \frac{-8-2\sqrt{15}}{-2}=4+\sqrt{15} \\
x_2= \frac{-8+2\sqrt{15}}{-2}=4-\sqrt{15}\)

Funkcja rosnąca w przedziale \(\left( 4-\sqrt{15}, 4+\sqrt{15}\right)\).
Funkcja malejąca w przedziałach \(\left( -\infty, 4-\sqrt{15}\right) \cup \left( 4+\sqrt{15}, +\infty\right)\).

[Lbubsazob]

Zad. 5
\(f(x)=8x- \sqrt[3]{x^2} =8x-x^{\frac{2}{3}} \\
D_f=\mathbb{R} \\
f'(x)=8- \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \\
f''(x)=\frac{2}{9} x^{-\frac{4}{3}}\)

\(\frac{2}{9} x^{-\frac{4}{3}} >0 \\
x\in\mathbb{R}\)
Czyli wychodzi na to, że funkcja jest wypukła w całej swojej dziedzinie.

Punkty przegięcia:
\(\frac{2}{9} x^{-\frac{4}{3}} =0 \\
x=0 \\
f(0)=0 \\
P= \left(0,0 \right)\)

W pozostałych Ci nie pomogę, bo sama tego nie miałam :(

[Aqois]

Funkcja rosnąca w przedziale \(\left( 8-\sqrt{15}, 8+\sqrt{15}\right)\).
Funkcja malejąca w przedziałach \(\left( -\infty, 8-\sqrt{15}\right) \cup \left( 8+\sqrt{15}, +\infty\right)\).[/quote]

czemu 8 a nie 4?

[Lbubsazob]

Pewnie że 4, widać nie umiem dzielić :/