Zbieżność całek niewsłaściwych

[Robson1416]

Zbieżność całek niewsłaściwych 1-ego rodzaju - kryterium porównawcze

a)
\(\int_{10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x}-3 }\)


b)
\(\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ (x^2+1) dx}{ x^4+x^2+1 }\)


c)
\(\int_{2}^{ \infty } \frac{ (\sqrt{2}+ cos x) dx}{ \sqrt{x} -1}\)

[radagast]

a)
\(\frac{1}{ \sqrt{x}-3 } >\frac{1}{ \sqrt{x} }> \frac{1}{x}\) (dla \(x>10)\))

zatem

\(\int_{10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x}-3 } > \int_{10}^{ \infty } \frac{dx}{x }= \left[ lnx\right]_{10}^{+ \infty }=+ \infty\)

Wniosek: \(\int_{10}^{ \infty } \frac{dx}{ \sqrt{x}-3 }\) jest rozbieżna

[radagast]

b)
\(\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ (x^2+1) dx}{ x^4+x^2+1 }\)
ta dla odmiany jest zbieżna :
\(\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ (x^2+1) dx}{ x^4+x^2+1 } <\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ (x^2+1) dx}{ x^4-2x^2+1 } =\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ x^2-1+2 }{ (x^2-1)^2 }dx=\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ x^2-1 }{ (x^2-1)^2 }dx+\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ 2 }{ (x^2-1)^2 }dx =\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ 1 }{ x^2-1 }dx+\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ 2 }{ (x^2-1)^2 }dx\),

a ponieważ obie te całki są zbieżne

\(\int_{ \infty }^{ \infty } \frac{ (x^2+1) dx}{ x^4+x^2+1 }\) również jezt zbieżna

[radagast]

c)
\(\int_{2}^{ \infty } \frac{ (\sqrt{2}+ cos x) dx}{ \sqrt{x} -1}\)

\(\frac{ \sqrt{2}+ cos x}{ \sqrt{x} -1} \ge \frac{ \sqrt{2}-1}{ \sqrt{x} -1} \ge \frac{ \sqrt{2}-1}{ \sqrt{x} } \ge \frac{ \sqrt{2}-1}{ x }\)
\(\int_{2}^{ \infty } \frac{1}{x}\) jest rozbieżna
zatem
\(\int_{2}^{ \infty } \frac{ (\sqrt{2}+ cos x) dx}{ \sqrt{x} -1}\) jest rozbieżna