Oblicz długość krzywych
1.
\(y=2 \sqrt{x^3}\) gdzie \(0 \le x \le 11\)
2.
\(y= \sqrt{1-x^2}\) gdzie \(0 \le x \le 1\)
3.
\(y=ln cos x\) gdzie \(0 \le x \le \frac{\pi}{4}\)
Oblicz długość krzywych
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Robson1416
- Czasem tu bywam
- Posty: 89
- Rejestracja: 31 paź 2010, 15:50
- Podziękowania: 36 razy
- Płeć:
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
\(L=\int_a ^b \sqrt{1+f'(x)^2 } dx\)
a.
\(y'=(2x^{\frac{3}{2}})'=2\cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}=3\sqrt{x}\)
\(L=\int_0 ^{11} \sqrt{ 1+9x}dx=(*)\)
\(\int \sqrt{1+9x} dx =\left(1+9x=t \\ 9dx=dt \\ dx=\frac{1}{9}dt \right)=\frac{1}{9} \int \sqrt{t} dt=\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{27}t\sqrt{t}+C=\frac{2}{27}(1+9x)\sqrt{1+9x} +C\)
\((*)=\frac{2}{27} (1+9x)\sqrt{1+9x} |_0^{11}=\frac{2000}{27} -\frac{2}{27}=74\)
a.
\(y'=(2x^{\frac{3}{2}})'=2\cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}=3\sqrt{x}\)
\(L=\int_0 ^{11} \sqrt{ 1+9x}dx=(*)\)
\(\int \sqrt{1+9x} dx =\left(1+9x=t \\ 9dx=dt \\ dx=\frac{1}{9}dt \right)=\frac{1}{9} \int \sqrt{t} dt=\frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{27}t\sqrt{t}+C=\frac{2}{27}(1+9x)\sqrt{1+9x} +C\)
\((*)=\frac{2}{27} (1+9x)\sqrt{1+9x} |_0^{11}=\frac{2000}{27} -\frac{2}{27}=74\)
-
domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
c.
\(y'=(\ln \cos x)'=\frac{-\sin x}{cos x}\)
\(L=\int _0 ^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{\cos ^2x}}dx=(*)\)
\(\int \sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}dx=\int \sqrt{ \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}dx=\int \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}dx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\left(tg \frac{x}{2} =t \\ dx=\frac{2}{1+t^2} dt\\ \cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2} \right)=\)
\(=\int \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt=\int \frac{2dt}{1-t^2} =\int \frac{dt}{1+t} +\int \frac{dt}{1-t} =\ln |1+t| -\ln |1-t|+C=\ln |\frac{1+t}{1-t}|+C=\ln |\frac{1+tg\frac{x}{2}}{1-tg \frac{x}{2}}|+C\)
\((*)=\ln |\frac{1+tg\frac{x}{2}}{1-tg \frac{x}{2}}| \ | \ _0 ^{\frac{\pi}{4}}=\)
nie przychodzi mi teraz do głowy jak skończyć tę całkę
\(y'=(\ln \cos x)'=\frac{-\sin x}{cos x}\)
\(L=\int _0 ^{\frac{\pi}{4}}\sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{\cos ^2x}}dx=(*)\)
\(\int \sqrt{1+\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}dx=\int \sqrt{ \frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}dx=\int \sqrt{\frac{1}{\cos^2 x}}dx=\int \frac{1}{\cos x}dx=\left(tg \frac{x}{2} =t \\ dx=\frac{2}{1+t^2} dt\\ \cos x =\frac{1-t^2}{1+t^2} \right)=\)
\(=\int \frac{1+t^2}{1-t^2} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt=\int \frac{2dt}{1-t^2} =\int \frac{dt}{1+t} +\int \frac{dt}{1-t} =\ln |1+t| -\ln |1-t|+C=\ln |\frac{1+t}{1-t}|+C=\ln |\frac{1+tg\frac{x}{2}}{1-tg \frac{x}{2}}|+C\)
\((*)=\ln |\frac{1+tg\frac{x}{2}}{1-tg \frac{x}{2}}| \ | \ _0 ^{\frac{\pi}{4}}=\)
nie przychodzi mi teraz do głowy jak skończyć tę całkę