Zadania z wektorów.

[RPSFanatyk]

Witam, mam mały problem z zadaniami tego typu:

Zad.1 Dane są punkty A(1,2,0), B(-2,3,1), C(0,-1,0). Wyznaczyć:
a) rzut \(\vec{AB}\) na \(\vec{AC}\)
b) punkt D, objętość czworościanu ABCD, długość wysokości z wierzchołka D oraz kąty

Zad.2 Dane są punkty A(1,3,0), B(2,4,5), C(3,5,9), D(0,1,2). Sprawdzić czy punkty leżą w jednej płaszczyźnie. Sprawdzić, czy punkty A, B, C leżą na jednej prostej.

Zad.3 Znaleźć punkt wspólny płaszczyzny \(\pi : x + y + z - 1 = 0\) i prostej \(l: \begin{cases}y-1=0\\ z+1=0\end{cases}\)

Zad. 4 Jaka jest odległość:
a) punktu A(1,1,1) od płaszczyzny \(x + y + 2z - 5 = 0\)
b) prostej \(\begin{cases}x=-1+2t\\ y=-3+2t\\ z=-2t\end{cases}\) od płaszczyzny \(x + y + 2z - 5 = 0\)
c) płaszczyzny \(x + y + 2z + 1 = 0\) od płaszczyzny \(x + y + 2z - 5 = 0\)

Z góry dziekuję za pomoc

[radagast]

Zadanie 2
Zacznijmy od wspóliniowości punktów, bo jakby się okazało, ze są współliniowe to współpłaszczyznowość będzie oczywista.

Prosta AB jest równolegla do wektora\(\vec{AB} = [1,1,5]\)
no to przedstawienie patametryczne prostej ab to p(t)= (t+1,t+3,5t),
a wiec punkt C na tej protej niestety nie leży (bo jeśli t=2 to nie \(\frac{9}{5}\) )

No to trzeba sprawdzić współpłaszczyznowośc punktów A,B,C,D
\(\vec{AB} = [1,1,5]\)
\(\vec{BC} = [1,1,4]\)
\(\vec{AB} \times \vec{BC} = [1,1,5] \times [1,1,4]=[-1,1,0]\) i jest to wektor prostopadły do płaszczyzny ABC
no to ABC ma równanie \(-x+y+C=0\), a ponieważ przechodzi przez punkt (1,3,0) to C= -2 czyli równanie płaszczyzny to \(-x+y-2=0\).
No i ta plaszczyzna nie przechodzi przez D, (bo \(-0+1-2 \neq 0\)) czyli punky nie są współpłaszczyznowe

[radagast]

Zadanie 1 to coś chyba żle przepsałeś.
a) Co to jest rzut wektora na wektor ?
b) Punkt D może być w dowolnym miejscu przestrzeni więc objetośc czworościanu - dowolna, wysokośc i kąty -tez

[radagast]

3,4 mogę zrobić tylko nie wiem czy warto , bo pewnie juz przeterminowane...

[domino21]

tylko się wtrącę na sekundę
R3 to był dla mnie horror na egzaminie nie lubiłem/ nie chciałem/ nie umiałem

[radagast]

No a ja przeciwnie , ale ja to miałam w liceum z najwspanialszym nauczycielem świata

[RPSFanatyk]

Własnie dokladnie taka jest tresc zadania znalesc rzut wektora na wektor i wlasnie dlatego umiescilem to tutaj, bo w zupelnosci nie znam takiej opcji

3 i 4 wciaż aktualne za 2 dzieki daje plus

[radagast]

3. To jest tak banalne że aż dziwne:
l(t)=(t,1,-1) - przestawienie parametryczne prostej l.
No to żeby się przecięła z płaszczyzna\(\pi\) t+1-1-1=0 czyli t=1.
Zatem szukany punkt to (1,1,-1)

[radagast]

4a)
po nitce do kłębka:
wektor prostopadły do płaszczyzny \(\pi\) to [1,1,2].
Jest on równoległy do prostej "po której" bedziemy mierzyli odległość punktu od płaszczyzny. Zatem ta prosta ma przedstawienie parametryczne p(t)=(t+1,t+1,2t+1)
Przecina ona (ta prosta) płaszczyznę \(\pi\) w punkcie, dla którego \(t\) spełnia warunek \(t+1+t+1+4t+2-5=0\) czyli \(t= \frac{1}{6}\).
punkt przecięcia prostej i płaszczyzny to \(( \frac{7}{6}, \frac{7}{6}, \frac{4}{3})\)
A wiec odległość punktu od prostej to \(\sqrt{ (\frac{7}{6}-1)^2 +(\frac{7}{6}-1)^2+(\frac{4}{3}-1)^2 }= \frac{1}{6}\)

Uwaga. Czasem się mylę w rachunkach. Lepiej to prześledź i jeśli czegoś nie rozumiesz to pytaj

[radagast]

b)
Istotnie, prosta \(l\)jest równoległa do płaszczyzny \(\pi\), bo \([1,1,2] \perp \pi\) i \([2,2,-2] \parallel l\) i \([1,1,2] \circ [2,2,-2] =0\)

Prosta prostopadła do płaszczyzny i przecinająca prostą \(l\) ma przestawienie parametryczne p(t)=(t-1,t-3,2t+0) =(t-1,t-3,2t) (wybrałam z prostej punkt (-1,-3,0))
Przecina ona \(\pi\) w puncie, dla którego t spełnia warunek \(t-1+t-3+4t-5=0\) czyli \(t= \frac{3}{2}\).
Jest to więc punkt \(( \frac{1}{2},- \frac{3}{2},3)\)
Odległość prostej l od płaszczyzny \(\pi\) wynosi : \(\sqrt{(-1- \frac{1}{2})^2+(-3+ \frac{3}{2})^2+(-3)^2 }= \frac{3 \sqrt{6} }{2}\)
I znów : prześledź rachunki, mogłam się pomylić

[radagast]

c)
wektor prostopadły do obu płaszczyzn to \(\left[ 1,1,2\right]\), a punkt należący do tej pierwszej to np \(\left( 2,-1,-1\right)\)
zatem prosta , po której będziemy mierzyć odległość ma przedstawienie parametryczne \(p(t)=(t+2,t-1,2t-1)\).
Przecina ona tę drugą płaszczyznę w punkcie, dla którego t spełnia warunek: \(t+2+t-1+4y-2-5=0\) czyli \(t=1\).
Jest to więc punkt \((3,0,1)\)
No to odległośc płaszczyzn wynosi : \(\sqrt{(3-2)^2+(0+1)^2+(1+1)^2}= \sqrt{6}\)