Obliczyć pole

[eW77]

Obliczyc pole :
(a) powierzchni zawartej miedzy liniami \(y = x^3 , y = 4x\)
(b) powierzchni zawartej miedzy liniami \(y = 2x^3 , y^4 = 4x\)
(c) ograniczone parabolami \(y^2 = 8x , x^2 = 8y\)
(d) obszaru ograniczonego przez linie \(y = x^2 , y = \frac{x^2}{2} , y = 3x\)
(e) obszaru ograniczonego przez linie \(y = 2x-x^2 , x + y = 0\)

[ewelawwy]

a)
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=y%3Dx^3,+y%3D4x
\(P=2\cdot (\frac 12 \cdot 2\cdot 8 - \int _0^2 x^3dx)= 16-2\cdot \frac 14[x^4]_0^2 =16-\frac 12\cdot 16=8\)

[ewelawwy]

b)
\(y=2x^3\\
y^4=4x\; \Rightarrow \; y=\sqrt[4]{4x} \; \vee \; y=-\sqrt[4]{4x}\)
interesuje nas tylko \(\sqrt[4]{4x}\), ponieważ \(-\sqrt[4]{4x}\) ma tylko jeden punkt wspólny z 4x (tzn te linie nie ograniczają żadnego obszaru)
musimy obliczyć drugi punkt wspólny wykresów \(\sqrt[4]{4x}\) i 4x
\(4x=\sqrt[4]{4x}\\
256x^4=4x\\
4x(64x^3-1)=0\\
x=0 \; \vee \; 64x^3=1 \; \Rightarrow \; x^3=\frac 1{64}\; \Rightarrow \; x=\frac 14\)
zatem to pole to:
\(P=\int _ 0 ^{0,25} \sqrt[4]{4x}dx -\frac 12 \cdot \frac 14 \cdot 1= \left[\frac {4\sqrt2}5 x^{\frac 54}\right]_0^{0,25}-\frac 18=0,2-0,125=0,075\)

[ewelawwy]

e)
http://www3.wolframalpha.com/input/?i=p ... 2,+y%3D-x)
punkty przecięcia to (0,0) i (3,-3)
2x-x^2 przecina oś X w (2,0)
zatem
\(P=\int_0^2 (2x-x^2)dx+\frac 12 \cdot 3\cdot 3 - \int _2^3 (-(2x-x^2))dx=\frac 92+\int_0^2 (2x-x^2)dx+\int_2^3 (2x-x^2)dx=\\
=4,5+\int_0^3 (2x-x^2)dx=4,5+[x^2-\frac 13x^3]_0^3=...\)

[ewelawwy]

d)

figura.png (8.42 KiB) Przejrzano 2125 razy

\(P=\int_0^3 x^2 dx+ \frac 12(9+18)\cdot 3 - \int _0^6 \frac {x^}2 dx=...\)
lub
\(P=\int_0^3 x^2 dx+ \int _3^63x dx - \int _0^6 \frac {x^}2 dx=...\)

[ewelawwy]

c)
\(y^2=8x\; \Rightarrow \; y=\sqrt{8x} \; \vee \; y=-\sqrt{8x}\\
8y=x^2 \; \Rightarrow \; y=\frac{x^2}8\)
tutaj podobnie jak w przykładzie b) interesuje nas tylko \(y=\sqrt{8x}\)
ostatni wykres --> http://www3.wolframalpha.com/input/?i=plot(y%3Dsqrt(8x),++y%3D(x^2)/8)

\(P=\int _0^8 \sqrt{8x} dx-\int _0^8 \frac{x^2}8 dx=...\)

[eW77]

Dziękuję Wam za pomoc:) Mam jeszcze prośbę, może ktoś mógłby mi wytłumaczyć jak to się robi mniej więcej i czy jest mozliwosc bez rysowania wykresow?:)

[ewelawwy]

myślę, że wykres jednak się przydaje (przynajmniej prowizoryczny z punktami przecięcia linii) aby było widać, która linia jest nad którą i na jakim przedziale, no i który dokładnie to jest ten ograniczony obszar

a co do tego jak to się robi, to może po prostu na konkretnych przykładach powiedz czego nie rozumiesz, to wyjaśnię

[eW77]

Nie rozumiem kompletnie b i c:) no i d, czyli sytuacji kiedy jest więcej niż 1 wykres

[ewelawwy]

no w tym b) i c) to jedna z linii nie jest podana w postaci y=... tylko na nieszczęście y jest w potędze
gdyby przynajmniej był w nieparzystej (która nie zmienia znaku), to by wystarczyło całość spierwiastkować pierwiastkiem 3go stopnia i jest ok
ale, że to są potęgi parzyste, to trzeba wziąć 2możliwości pod uwagę
weźmy c)
\(y^2=8x\)
jak to spierwiastkujemy, to y może być \(\sqrt{8x}\) lub też \(-\sqrt{8x}\)
jednak z wykresu widać, że tylko \(sqrt{8x}\) ogranicza obszar z \(\frac{x^2}8\)

1.png (10.44 KiB) Przejrzano 2098 razy

[ewelawwy]

jeśli chodzi o d, w którym są 3 linie, to najpierw rysujemy je wszystkie i zaznaczamy obszar, który ograniczają wszystkie 3 (tak jak na rysunku u góry, przy rozwiązaniu)
podzielmy sobie rysunek na części (w iksach, w których przecinają się wykresy)

1.png (8.21 KiB) Przejrzano 2098 razy

wiemy, że całka to jest pole figury pod wykresem, więc zacznijmy od górnych wykresów
mamy \(\int _0^3 x^2dx\)
to jest ta część:

2.png (10.97 KiB) Przejrzano 2098 razy

teraz mamy \(\int_3^6 3xdx\) i to jest ta część:

3.png (11.08 KiB) Przejrzano 2098 razy

więc jak zsumujemy obydwie całki \(\int _0^3 x^2dx +\int_3^6 3xdx\)
to otrzymujemy:

4.png (11.1 KiB) Przejrzano 2098 razy

jednak to jest za dużo o tę część:

5.png (10.99 KiB) Przejrzano 2098 razy

więc musimy ją odjąć, a ta część to jest nic innego jak \(\int _0^6 \frac{x^2}2\)

więc aby otrzymać pole naszego obszaru to musimy obliczyć:
\(\int _0^3 x^2dx +\int_3^6 3xdx-\int _0^6 \frac{x^2}2\)

P.S.
obszar wyznaczony przez drugą całkę (tak jak napisałam wcześniej) można obliczyć inaczej gdyż jest to trapez prostokątny o podstawach 9 i 18 oraz wysokości 3

[ewelawwy]

mam nadzieję, że troszkę Ci to rozjaśniłam