Zbieżność szeregu liczbowego

[dziurys]

Proszę o pomoc w zbadaniu zbieżności podanego szeregu:

\(\sum_{n=1}^{ \infty } \frac{\ln n}{n^2+1}\)

[Lbubsazob]

Dla \(n \ge 1\) zachodzi \(\ln n<n\), więc \(\frac{\ln n}{n^2+1}< \frac{n}{n^2+1}\).

Szereg \(\sum \frac{n}{n^2+1}\) jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego ilorazowego, więc szereg \(\sum \frac{\ln n}{n^2+1}\) również jest rozbieżny.

[radagast]

Dla \(n \ge 1\) zachodzi \(\ln n<n\), więc \(\frac{\ln n}{n^2+1}< \frac{n}{n^2+1}\).

Szereg \(\sum \frac{n}{n^2+1}\) jest rozbieżny na mocy kryterium porównawczego ilorazowego, więc szereg \(\sum \frac{\ln n}{n^2+1}\) również jest rozbieżny.

Legelle, a Ty jesteś tego pewna ? To szacowanie to chyba w drugą stronę powinno być (?)

[Lbubsazob]

Ano faktycznie, mój błąd.

Proponuję tak:
\(\ln n<\sqrt n \\
\frac{\ln n}{n^2+1}< \frac{\ln n}{n^2}< \frac{\sqrt n}{n^2}= \frac{n^{\frac{1}{2}}}{n^2}=n^{-\frac{3}{2}}= \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\)
Szereg \(\sum \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}\) jest zbieżny jako szereg harmoniczny rzędu \(\frac{3}{2}\), więc na mocy kryterium porównawczego szereg \(\sum \frac{\ln n}{n^2+1}\) też jest zbieżny.