całki nieoznaczone

[Iluminati91]

a) \(\int_{}^{} \frac{ \sqrt[6]{x} }{1+ \sqrt[3]{x} }dx\)
b) \(\int_{}^{} \frac{x^2-x+1}{ \sqrt{x} }dx\)
c)\(\int_{}^{} \frac{x}{ \sqrt{16-9 x^4 }dx\)
d)\(\int_{}^{} \frac{x}{x^4+1} dx\)
e)\(\int_{}^{} \frac{1}{3^{-x}} dx\)
f)\(\int_{}^{} \frac{1}{ \sqrt{25-9x^2} } dx\)
g)\(\int_{}^{} x^2e^{-x} dx\)
h)\(\int_{}^{} 3^xcosx dx\)

[slawekstudia6]

\(\int\frac{x}{x^4+1} dx= \frac{1}{2} \int\frac{(x^2)'}{x^4+1} dx=\frac{1}{2}arctg(x^2)+C\)

[slawekstudia6]

e)\(\int \frac{1}{3^{-x}} dx=\int 3^x dx= \frac{3^x}{ln3}\)

[slawekstudia6]

\(\int \frac{1}{ \sqrt{25-9x^2} } dx= \frac{1}{5} \int \frac{1}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x}{5}\right) ^2} } dx= \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{3} \int \frac{\left( \frac{3x}{5}\right)' }{ \sqrt{1- \left( \frac{3x}{5}\right) ^2} }=\\= \frac{1}{3} arcsin\left( \frac{3x}{5}\right) +C\)

[slawekstudia6]

\(\int x^2e^{-x} dx=-x^2e^{-x}+2\int xe^{-x} dx=-x^2e^{-x}-2xe^{-x} +2\int e^{-x} dx=\\=-x^2e^{-x}-2xe^{-x} -2 e^{-x} +C\)

[slawekstudia6]

\(\int\frac{x}{ \sqrt{16-9 x^4 }}dx= \frac{1}{4} \int\frac{x}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx=\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{6} \int\frac{\left( \frac{3x^2}{4} \right)'}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx= \frac{1}{6}arcsin\left( \frac{3x^2}{4} \right)+C\)

[slawekstudia6]

\(\int\frac{x^2-x+1}{ \sqrt{x} }dx=\int(x^ {\frac{3}{2} }-x^ {\frac{1}{2}}+x^ {-\frac{1}{2}})dx=\\=\frac{2}{5}x^ {\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}x^ {\frac{3}{2}}+2x^ {\frac{1}{2}}+C\)

[slawekstudia6]

\(\underline{\int 3^xcosx dx}= \frac{3^x }{ln3} cosx+\int\frac{3^x }{ln3} sinx dx=\underline{\frac{3^x }{ln3} cosx+\frac{3^x }{ln^23}sinx-\int\frac{3^x }{ln^23}cosxdx}\)

\(\int 3^xcosx dx=\frac{3^x }{ln3} cosx+\frac{3^x }{ln^23}sinx-\int\frac{3^x }{ln^23}cosxdx\)

\(ln^23\int 3^xcosx dx=ln3 \cdot3^x cosx+ 3^x sinx-\int3^x cosxdx\)

\((ln^23-1)\int 3^xcosx dx=ln3 \cdot3^x cosx+ 3^x sinx\)

\(\int 3^xcosx dx= \frac{3^x }{(ln^23-1)} \left( ln3 \cdot cosx+ sinx\right)\)

[Iluminati91]

Dziękuję za odpowiedzi, ale nie do końca wiem, dlaczego w d,f i c zastosowałeś wzory do całkowania, mimo, że zmienna x była w postaci np \(\frac{3}{5}x\) . Mogę prosić o dokładniejsze wytłumaczenie?
Tak samo,wg, nie rozumiem skąd całka z \(e^{-1}\) to \(-e^{-x}\).

[slawekstudia6]

można tutaj podstawiać

przez to że dość dużo całek rozwiązałem mam swój styl

\(\int f(g(x)) \cdot g'(x)dx=\int f(k)dk\)

np
\(\int \frac{1}{cos^2x \sqrt{1+tg^2x} } dx=\int \frac{ \frac{1}{cos^2x} }{ \sqrt{1+tg^2x} } dx=\\=\int \frac{ (tgx)' }{ \sqrt{1-tg^2x} }dx=arcsin(tgx)+C\)

są też inne wzory
\(\int \left( f(g(x)) \right)^n \cdot g'(x) = \frac{\left( f(g(x)) \right)^{n+1}}{n+1}\)

np
\(\int (cosx-6)^{500} \cdot sinxdx=-\int (cosx-6)^{500} \cdot (cosx-6)'dx=- \frac{(cosx-6)^{501} }{501}+C\)

a całka
\(\int e^xdx=e^x\)
bo
\(\int e^xdx=\int (x)' \cdot e^xdx=e^x\)

\(\int e^{-x}dx=-\int (-x)' \cdot e^{-x}dx=-e^{-x}\)

[Iluminati91]

\(\int\frac{x}{ \sqrt{16-9 x^4 }}dx= \frac{1}{4} \int\frac{x}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx=\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{6} \int\frac{\left( \frac{3x^2}{4} \right)'}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx= \frac{1}{6}arcsin\left( \frac{3x^2}{4} \right)+C\)

Możesz mi jeszcze powiedzieć, po co ta pochodna z \(\frac{3}{4}x^2\)? Chyba wzór też się nie zgadza, bo jest: \(\int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2} } =arcsinx + C\)

Podobnie w b).

[slawekstudia6]

\(\int\frac{x}{ \sqrt{16-9 x^4 }}dx= \frac{1}{4} \int\frac{x}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx=\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{6} \int\frac{\left( \frac{3x^2}{4} \right)'}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx= \frac{1}{6}arcsin\left( \frac{3x^2}{4} \right)+C\)

Możesz mi jeszcze powiedzieć, po co ta pochodna z \(\frac{3}{4}x^2\)? Chyba wzór też się nie zgadza, bo jest: \(\int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2} } =arcsinx + C\)

Podobnie w b).

taki jest wzór: aż zajrzałem do tablic
\(\int \frac{dx}{ \sqrt{1-x^2} } =arcsinx + C\)
a
może
\(\int \frac{dx}{ \sqrt{1+x^2} } =arsinhx + C\)

a

\(\int\frac{x}{ \sqrt{16-9 x^4 }}dx= \frac{1}{4} \int\frac{x}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx=\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{6} \int\frac{\left( \frac{3x^2}{4} \right)'}{ \sqrt{1- \left( \frac{3x^2}{4} \right)^2 }}dx= \frac{1}{6}arcsin\left( \frac{3x^2}{4} \right)+C\)

nie ma mowy o pomyłce przecież to podstawy
co najwyżej można go rozpisać, ale nic innego nie wyjdzie

[radagast]

a)
http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... 49&p=60630

[madzina]

chcialabym was prosic o pomoc w roz takiej całki:

int \frac{dx}{x \sqrt{5-2ln^2x} }

mialam cos takiego na egzaminie i nie wiedzialam jak to policzyc ...

[radagast]

To załóż swój, nowy temat i na pewno ktoś Ci policzy