Prawdopodobieństwo

[Pasato]

Zbiór A={1,2,3,...,4n} podzielono w sposób losowy na dwa równoliczne podzbiory. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w obu zbiorach jest tyle samo liczb podzielnych przez n.

[ewelawwy]

W każdym z podzbiorów mamy po 2n liczb, czyli do pierwszego podzbioru losujemy 2n z 4n liczb, a pozostałe wrzucały do drugiego podzbioru, stąd: \(\overline{\overline{\Omega}}={4n \choose 2n}.\)
Liczby podzielne n ze zbioru A, to: n, 2n, 3n i 4n, zatem mamy obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie z nich są w pierwszym podzbiorze, a drugie dwie w drugim podzbiorze, czyli do pierwszego podzbioru musimy wylosować 2 z 4 liczb oraz (2n-2) z (4n-4)liczb, stąd: \(\overline{\overline{Z}}={4 \choose 2}\cdot {4n-4 \choose 2n-2}.\)
Zatem \(P(Z)=\frac{{4 \choose 2}\cdot {4n-4 \choose 2n-2}}{{4n \choose 2n}}=\frac{6\cdot \frac{(4n-4)!}{(2n-2)!\cdot (4n-4-2n+2)!}}{\frac{(4n)!}{(2n)!\cdot(2n)!}}=6\cdot \frac{(4n-4)!\cdot(2n)!\cdot (2n)!}{(4n)!\cdot (2n-2)!\cdot (2n-2)!}=6\cdot \frac{2n\cdot(2n-1)\cdot 2n\cdot (2n-1)}{4n\cdot(4n-1)\cdot(4n-2)\cdot(4n-3)}=\\
= \frac{6n(2n-1)^2}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}\)

możliwe, że da się to jeszcze uprościć...

[radagast]

Da się ale tylko ciut:

\(\frac{6n(2n-1)^2}{(4n-1)(4n-2)(4n-3)}=\)

\(\frac{6n(2n-1)^2}{(4n-1) \cdot 2(2n-1)(4n-3)}=\)

\(\frac{3n(2n-1)}{(4n-1)(4n-3)}\)

dalej ani rusz (nie ma wspólnych dzielników).