ekstrema i przedziały monotniczności

[jonhio]

\(f(x)=(x^3-6x^2)^{1/3}

f(x)=arcsin \frac{2x}{1+x^2}

f(x)=lnx+ln \frac{1}{x}\)

[slawekstudia6]

\(f(x)=(x^3-6x^2)^{1/3}\)

Pochodna:
\(f'(x)= \left[(x^3-6x^2)^{1/3} \right] '= \frac{1}{3} (x^3-6x^2)^{- \frac{2}{3} } \cdot (x^3-6x^2)'=\\= \frac{3x^2-12x}{3 \sqrt[3]{(x^3-6x^2)^2} }= \frac{x^2-4x}{ \sqrt[3]{(x^3-6x^2)^2} }\)

Monotoniczność i ekstrema
warunek konieczny

\(f'(x)=0\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{x^2-4x}{ \sqrt[3]{(x^3-6x^2)^2} }=0\)

\(x^2-4x=0\)
\(x(x-4)=0\)
\(x=0\,\, \vee x=4\)
(rysujemy teraz parabolę, określamy znaki przedziałów)
\(f\) rosnąca dla \(x\in( \infty ; 0) \cup (4;+ \infty )\)
\(f\) malejąca dla \(x\in (0;4 )\)

z + na - oznacza max, odwrotnie minimum (patrz na wykres tj. parabola)

\(f_{max}(0)=(0^3-6 \cdot 0^2)^{1/3}=0\)
\(f_{min}(4)=(4^3-6 \cdot 4^2)^{1/3}=(4^3-6 \cdot 4^2)^{1/3}= -\sqrt[3]{32} =-2\sqrt[3]{4}\)

[slawekstudia6]

\(f(x)=arcsin \frac{2x}{1+x^2}\)

Pochodna:
\((arcsinx)'= \frac{1}{ \sqrt{1-x^2} }\)

\(\left(arcsin \frac{2x}{1+x^2} \right)'= \frac{1}{ \sqrt{1- \left(\frac{2x}{1+x^2} \right) ^2} } \cdot \left( \frac{2x}{1+x^2}\right)'=\frac{1}{ \sqrt{1- \left(\frac{4x^2}{(1+x^2)^2} \right) } } \cdot \left( \frac{2 \cdot (1+x^2)-2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2}\right)=\\=\frac{1}{ \frac{ \sqrt{(1+x^2)^2-4x^2}}{(1+x^2)}} \cdot \left( \frac{2-2x^2}{(1+x^2)^2}\right)= \frac{2-2x^2}{(1+x^2)\sqrt{(1-2x+x^2)(1+2x+x^2)}\)

Monotoniczność i ekstrema
warunek konieczny

\(f'(x)=0\,\, \Leftrightarrow \,\,\frac{2-2x^2}{(1+x^2)\sqrt{(1-2x+x^2)(1+2x+x^2)}}=0\)
\(2-2x^2=0\)
\(2(1-x)(1+x)=0\)
\(x=1 \vee x=-1\)
(rysujemy teraz odwróconą parabolę, określamy znaki przedziałów)
\(f\) rosnąca dla \(x\in(-1;1)\)
\(f\) malejąca dla \(x\in (- \infty ;-1 ) \cup (1; \infty )\)

\(f{max}(1)=arcsin \frac{2 \cdot 1}{1+1^2}=arcsin 1= \frac{\pi}{2}\)
\(f{min}(-1)=arcsin \frac{2 \cdot (-1)}{1+(-1)^2}=arcsin (-1)=-arcsin 1= \left( - \frac{\pi}{2}\right)\)

[slawekstudia6]

\(f(x)=lnx+ln \frac{1}{x}=lnx+ln x^{-1}=lnx-ln x=0\)

weźmy pochodną

\(f'(x)=\frac{1}{x}+ \frac{1}{\frac{1}{x}} \cdot (\frac{1}{x})'=\frac{1}{x}+x \cdot (-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x}- \frac{1}{x}=0\)

ta funkcja jest stała