Monotoniczność i ekstrema lokalne

[RafałM]

Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne
\(f(x)=(x^2-3x+1)e^-^x^+^4\)

[jola]

\(D_f=R\)

\(f'(x)=(-x^2+5x-4)e^{-x+4}=-(x-4)(x-1)e^{-x+4}\ \ \ \wedge \ \ \ \ D_{f'}=R\)

\(f'(x)=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x=4\ \ \ \vee \ \ \ x=1\)

\(f'(x)>0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (1;4)\ \ \ \Rightarrow \ \ \\)dla\(\ \ x \in (1;4)\ \ \\)funkcja jest rosnąca

\(f'(x)<0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x \in (- \infty ;1)\ \cup \ (4;+ \infty )\ \ \ \Rightarrow \ \\)

\(\Rightarrow \ \\)dla\(\ \ x \in (- \infty ;1)\)oraz dla\(\ \ x \in (4;+ \infty )\ \\)funkcja jest malejąca

punkt o współrzędnych\(\ \ (1\ ;\ -e^3\ )\ \\)jest minimum lokalnym

punkt o współrzędnych (4;5) jest maksimum lokalnym

[RafałM]

A mogę się dowiedzieć skąd się wzięło \(f'(x)=(-x^2+5x-4)e^-^x^+^4\)

[RafałM]

i te punkty \(-e^3\) i 5 ?

[RafałM]

A punkt krytyczny do 4 i 1 ? bo zawierają się w dziedzinie

[jola]

\(f'(x)\ =((x^2-3x+1)e^{-x+4})'\ =\ (x^2-3x+1)' \cdot e^{-x+4}\ +\ (x^2-3x+1) \cdot (e^{-x+4})'\ =\)

\(=\ (2x-3) \cdot e^{-x+4}\ +(x^2-3x+1) \cdot (-e^{-x+4})\ =\ (2x-3-x^2+3x-1) \cdot e^{-x+4}\ =\)

\(=\ (-x^2+5x-4) \cdot e^{-x+4}\ =\ -(x-4)(x-1) \cdot e^{-x+4}\)

[RafałM]

Ok a co do punktów krytycznych to wychodzą 4 i 1

[jola]

x=4 i x=1 to punkty krytyczne, bo są miejscami zerowymi pochodnej

[RafałM]

dzięki jola za pomoc