Granice ciągów

[radagast]

A wogóle, to my rozmawiamy o drugiej częsci zadania 2), bo w pierwszym to chyba wszystko jasne było ?

[gpl1260]

Na ogół dowodzi się najpierw, że jeśli ciąg (a_n) jest rozbieżny do \(+\infty\) lub do \(-\infty\),
to ciąg \(\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}\) jest zbieżny do e. (łatwe, wskazówka: rozważyć \(A_n:=\lfloor a_n\rfloor\) - to ciąg liczb całkowitych).

Teraz korzystamy z powyższego dla \(a_n=\frac{n}{z}\) (oczywiście przy z\neq 0, bo dla 0 nie ma czego dowodzić).
Skoro \(\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n/z}\to e\), to mamy \(\left(1+\frac{z}{n}\right)^{n}\to e^z\).

[Galen]

\(\lim_{n\to \infty }(1+ \frac{a}{n})^n= \lim_{n\to \infty }((1+ \frac{1}{ \frac{n}{a} })^{ \frac{n}{a}}) ^a=e^a\)

[Svanar]

3) \(\lim_{n\to \infty } (\frac{n^2+2}{2n^2+1})^{n^2}\)

[Galen]

3)
\(\lim_{x\to \infty } \frac{(n^2+2)^{n^2}}{(2n^2+1)^{n^2}}= \lim_{x\to \infty } \frac{(n^2)^{n^2}(1+ \frac{2}{n^2})^{n^2} }{(n^2)^{n^2}(2+ \frac{1}{n^2})^{n^2 }}=\\
= \frac{e^2}{ \infty }=0\)

[Svanar]

\(\lim_{x\to \infty } ( \frac{2n^2 + 3}{n^2 -5 })^{2n^2-5}\) = ?

[radagast]

Załóż nowy temat. Ten juz za długi jest