Losowanie punktu na płaszczyźnie i Losowanie sześcianów

[kasia145_1994]

Losujemy punkt kratowy należący do kwadratu o boku 10 oraz obliczamy szanse trafienia w określony podzbiór kwadratu.
1.Dany jest kwadrat ABCD o wierzchołkach A=(0, 0), B=(10, 0), C=(10, 10), D=(0, 10). Losujemy punkt tego kwadratu spośród wszystkich punktów o obydwu współrzędnych całkowitych (tzw. punktów kratowych). Oblicz prawdopodobieństwo, że współrzędne wylosowanego punktu spełniają warunek \(x+y \le 4,5\)



Losujemy sześcian z grupy pomalowanych sześcianów.
2.Każda ściana drewnianego sześcianu o krawędzi 3 cm jest pomalowana na czerwono. Sześcian ten pocięto na małe sześcianiki, każdy o krawędzi 1cm. Spośród otrzymanych sześcianików losujemy jeden. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy sześcianik, który nie ma żadnej ściany czerwonej.
Podpowiedź : Małych sześcianików jest 27.

[irena]

1.
Praktycznie oznacza to, że suma współrzędnych jest równa co najwyżej 4.
Jeśli x=0, to mamy 5 możliwości (y=0, 1, 2, 3, 4)
Jeśli x=1, to mamy 4 możliwości
Dla x=2- 3 możliwości,
dla x=3- 2 możliwości
dla x=4- jedna

Razem: \(5+4+3+2+1=15\)
Wszystkich punktów kratowych w kwadracie takim jest \(11^2=121\)

\(P(A)=\frac{15}{121}\)

[irena]

2.
Takich sześcianików jest rzeczywiście \(3^3=27\)
Niepomalowany będzie tylko jeden sześcianik, ten będący w środku (bo każda warstwa o grubości 1 jest pomalowana z wierzchu, a warstw jest 3).
\(P(B)=\frac{1}{27}\)