Udowodnij, że jeśli... to...

[Doriak]

Mam problem z następującym zadaniem:
Udowodnij, że jeśli:
\(0 \le a \le 1
0 \le b \le 1\)
to:
\((a+b+1)^2 \ge 4(a^{1997}+b^{1997})\)

Doszedłem do tego:
\(0 \le a \le 1 \Rightarrow 1 \ge a \ge a^2 \ge a^{1997}
0 \le b \le 1 \Rightarrow 1 \ge b \ge b^2 \ge b^{1997}

(a+b+1)^2=a^2+b^2+1+2a+2b+2ab=(a^2+2a+1)+(2b^2+2ab)
4(a^{1997}+b^{1997})=4a^{1997}+4b^{1997}=(a^{1997}+2a^{1997}+a^{1997})+(2b^{1997}+2b^{1997})
(a^2+2a+1)+(2b^2+2ab) \ge (a^{1997}+2a^{1997}+a^{1997})+(2b^{1997}+2b^{1997})\)
I teraz mogę udowodnić, że każdy składnik lewej strony nierówności jest większy/równy odpowiednikowi z prawej z wyjątkiem:
\(2ab\ i\ 2b^{1997}\)

Proszę pomóżcie!

[radagast]

Słusznie zauważyłeś, że \(a \ge a^{1997}\) i \(b \ge b^{1997}\)

stąd \(a+b \ge a^{1997}+ b^{1997}\)
oraz \(4(a+b) \ge 4(a^{1997}+ b^{1997})\)

teraz zauważmy, że \((a+b+1)^2=(a+b)^2+2(a+b)+1 \ge 4(a+b)\) (ta ostatnia nierówność może nie jest natychmiastowa, ale po chwili zastanowienia ... ok. Jeśli nie, daj znać,to uzupełnię lukę)

A ponieważ już wiemy ,że \(4(a+b) \ge4(a^{1997}+ b^{1997})\) mamy co chcieliśmy

[Doriak]

Dziękuję!!!
Rzeczywiście był problem z tą nie równością
Ale na szczęście po rozpisaniu znikł!