Całka z użyciem wzorów na sin i cos

[kubar091]

\(\int_{}^{} \frac{1}{cosx+sinx+2} dx\)

[ewelawwy]

użyjmy podstawienia:
\(t= tg \frac x2\), wtedy
\(\sin x =\frac {2t}{1+t^2}\\
\cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}\\
dx=\frac {2}{1+t^2}dt\)
zatem
\(\int \frac{1}{cosx+sinx+2} dx = \int \frac{ \frac {2}{1+t^2}dt}{\frac {1-t^2}{1+t^2} +\frac {2t}{1+t^2} + \frac {1+t^2}{1+t^2}}=\int \frac {2}{1+t^2} \cdot \frac { 1+t^2}{2+2t} dt=\int \frac{2}{2+2t}dt=\\
=\ln |2+2t| +C=\ln |2+2tg \frac x2|+C\)

[kubar091]

chyba zgubiłaś 2 w mianowniku

[ewelawwy]

jest tu mały błąd, bo w mianowniku jest +2, a nie +1, więc to troszkę zmieni postać rzeczy:
\(\int \frac{1}{cosx+sinx+2} dx = \int \frac{ \frac {2}{1+t^2}dt}{\frac {1-t^2}{1+t^2} +\frac {2t}{1+t^2} + \frac {2+2t^2}{1+t^2}}=\int \frac {2}{1+t^2} \cdot \frac { 1+t^2}{t^2+2t+3} dt=\int \frac{2}{t^2+2t+3}dt=\\
=2\int \frac{dt}{t^2+2t+3}=...\)
delta mianownika jest mniejsza od 0 zatem korzystam ze wzoru:
\(\int \frac{dx}{ax^2+bx+c}=\frac{2}{\sqrt{-\Delta}}arctg \frac{2ax+b}{\sqrt{-\Delta}} + C\)
zatem
\(...=\frac{4}{\sqrt{8}}arctg \frac {2t+2}{\sqrt{8}} + C= \sqrt{2} arctg \frac{\sqrt{2}(t+1)}2 + C=\sqrt{2} arctg \frac{\sqrt{2}(tg \frac x2+1)}2 + C\)

[kubar091]

tylko nie rozumiem
\(t=tg \frac{x}{2}
dt= \frac{2}{1+x^2}dx
dx=dt* \frac{1+x^2}{2}\)
czy nie?

[domino21]

\(t=tg \frac{x}{2}
\frac{x}{2}=arc tg t
x=2 arc tg t
dx=\frac{2}{1+t^2} dt\)

[radagast]

Ale Ty potrzebujesz pozbyć się zmiennej x.
dlatego:

\(t= \frac{x}{2}\)

\(x=2arctgt\)

\(\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}\)

\(dx=\frac{2dt}{1+t^2}\)

[kubar091]

to żeby nie zakładać nowego tematu:


\(\int_{ 0 }^{ \pi } \frac{sin3x}{e^2x}\)

[irena]

Załóż.