Funkcja wykładnicza

[cherryvis3]

Określić liczbę rozwiązań równania w zależności od parametru m
a) \(9^{\frac{1}{2}(x^2-x)-\frac{3}{4}= \sqrt[4]{3^m-1}\)
b) \(8^{x(x+m)}=(\frac{1}{16})^{6\frac{3}{4}}\)

[jola]

czy równania są dobrze przepisane ?

[cherryvis3]

Tak dobrze. W pudpunkcie na końcu jest ułamek \(6\frac{3}{4}\)

[jola]

czy dobrze zapisane są wykładniki potęg ?

[ewelawwy]

w podpunkcie a w ogóle nie masz zamkniętego nawiasu od potęgi i nie wiadomo, gdzie ta potęga dziewiątki się kończy
czy po 1/2 czy po (x^2-x) czy może i -3/4 tez jest w potędze?

[ewelawwy]

b)
\(8^{x(x+m)}=(\frac{1}{16})^{6\frac{3}{4}}\\
2^{3x(x+m)}=2^{-4\cdot 6\frac{3}{4}}\\
3x(x+m)=-4\cdot 6\frac{3}{4}\\
3x^2+3xm=-4c\dot \frac{27}4 \\
3x^2+3xm+27=0\\
x^2+xm+9=0\\
\Delta=m^2-36\\
1)\; \Delta = 0 \; \Rightarrow \; m= 6 \; \vee \; m=-6\\
2)\; \Delta>0 \; \Rightarrow \; m\in (-\infty,-6)\cup (6,\infty)\\
3)\Delta <0 \; \Rightarrow \; m\in (-6,6)\)

zatem równanie ma dwa rozw. dla \(m\in (-\infty,-6)\cup (6,\infty)\), jedno dla \(m=\pm 6\) i brak rozwiązań dla \(m\in (-6,6)\)

[cherryvis3]

Tak , tam jest wszystko w potędze

[Galen]

Zad.1
\((3^2)^{({ \frac{1}{2}(x^2-x)- \frac{3}{4})}}=(3^{m-1})^{ \frac{1}{2}}\)
\(3^{x^2-x- \frac{3}{2}}=(3^{m-1})^{ \frac{1}{2}}\;/^2\\
3^{2x^2-2x-3}=3^{m-1}\\
2x^2-2x-3=m-1\\
2x^2-2x-(m+2)=0\)
Otrzymuję równanie kwadratowe i liczba rozwiązań zależy od wyróżnika \(\Delta\).
\(\Delta =4+8(m+2)=8m+20\)
dla \(8m+20>0\;\;\;\;m>-2,5\) równanie ma dwa rozwiązania,
dla \(m=-2,5\) jest jedno rozwiązanie,
dla \(m<-2,5\) zero rozwiązań.