Bardzo proszę o sprawdzenie.
\(arcsin x = 2 arccos \sqrt{1-x}\)
Wyznaczyłam dziedzinę: \(x \in <0;1>\)
Rozwiązałam w ten sposób:
skoro: \(arcsin x+arccos x = \frac{ \pi }{2}\) to:
\(arccosx+2arccos \sqrt{1-x}= \frac{\pi}{2}\)
\(arccosx= \beta\)
\(arccos \sqrt{1-x}= \alpha\)
\(\alpha , \beta \in (0, \pi)\)
\(\alpha +2 \beta = \frac{\pi}{2}\)
\(sin( \alpha +2 \beta)=1\)
\(cos(\alpha + \beta)=0 \rightarrow cos( \frac{\pi}{2} )=0\)
Z wzoru na cos sumy kontów:
\((2cos ^{2}\alpha-1 )cos\beta + (2sin\alpha \cdot cos\alpha)sin\beta=0\)
skoro:
\(cos\alpha= \sqrt{1-x} \rightarrow sin\beta=\sqrt{1-x}\)
\(cos\beta=x \rightarrow sin\alpha=x\)
\([2(1-x)-1]x+(2x \cdot \sqrt{1-x})\sqrt{1-x}=0\)
po uproszczeniach:
\(-x(4x-3)=0\)
stąd:
ODP. \(x=0 \vee x= \frac{3}{4}\)
równanie tryg.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
gpl1260
- Stały bywalec
- Posty: 646
- Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
- Otrzymane podziękowania: 171 razy
- Płeć:
Ta dwójka jest w dobrym miejscu?yoana91 pisze:Bardzo proszę o sprawdzenie.
\(arcsin x = 2 arccos \sqrt{1-x}\)
Wyznaczyłam dziedzinę: \(x \in <0;1>\)
Rozwiązałam w ten sposób:
skoro: \(arcsin x+arccos x = \frac{ \pi }{2}\) to:
\(arccosx+2arccos \sqrt{1-x}= \frac{\pi}{2}\)
\(arccosx= \beta\)
\(arccos \sqrt{1-x}= \alpha\)
\(\alpha , \beta \in (0, \pi)\)
\(\alpha +2 \beta = \frac{\pi}{2}\)
