Funkcje w logice

[ZITARIX]

Witam mam do sprawdzenia sposoby rozwiązania 2 przykładów i pytanie odnoście następnego z nich mam nadzieję że ktoś pomoże.
Udowodnij że to jest prawda:
\(f(A_{1}) \setminus f(A_{2}) \subset f(A_{1} \setminus A_{2})\)
Zrobiłem to tak, że zapisałem\(y \in f(A_{1} ) \wedge y \notin (A_{2})\) a następnie istnieje x należące do A1 i f(x)=y i nieprawda że istnieje x należące do A2 i f(x) jest różne od y. Na końcu zapisałem istnieje x należące do A1 i nie istnieje x należące do A2 i f(x)=y. Po tym po prostu napisałem prawą stronę początkowego założenia. Dobrze?


\(f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})=f^{-1}(B_{1}) \cap f^{-1}(B_{2})\)
Zapisałem \(x \in f^{-1}(B_{1} \cap B_{2})\) co jest równoważne że f(x) należy do (B1 i B2), co jest równoważne że f(x) należy do B1 i f(x) należy do B2, co jest równoważne prawej stronie równości początkowej


Tego nie wiem jak zrobić:
Zbadać, czy zdefiniowana niżej funkcja f2 jest różnowartościowa i czy jest suriekcją na podaną
przeciwdziedzinę.
f2 : N × N → N, \(f_{2}\) (k, l) = najmniejsza wspólna wielokrotność liczb k, l.


I ostatnie zadanie
Wyznaczyć funkcje odwrotne do f1 i f2 , gdzie:
f1 : (x, y) → (2x + 3y, −x + 3y) ∈ \(R^{2}\) , (x,y) należy do \(R^{2}\)
f2 : a + bi → (a + 1, −b) ∈ \(R^{2}\) a+bi należy do zespolonych

[gpl1260]

(...)i nieprawda że istnieje x należące do A2

Nieprawda. Tutaj już bez kwantyfikatora.

Zadanie wymaga formalnego sprawdzenia, w takich sytuacjach lepiej używać zapisu symbolicznego zamiast słownych opisów.

Zakładając że mamy ustaloną funkcję f i zbiory A_1, A_2 zawarte w dziedzinie:
Weźmy dowolny element \(y\in f(A_1)\setminus f(A_2)\). Istnieje wtedy \(x\in A_1\) taki że y=f(x), ten x nie należy do A_2. Zatem \(x\in A_1\setminus A_2\) i w konsekwencji \(y=f(x)\in f(A_1\setminus A_2)\).


2. Funkcja f(k,l)=NWW(k,l) różnowartościowa oczywiście nie jest. Na przykład f(1,2)=f(2,1). Suriekcją jest, bo np. n=f(1,n) dla każdego n.