3 zadania z ciągów liczbowych

[miodan]

Witam, chciałbym prosić o pomoc w poniższych zadaniach z ciągów liczbowych, bo akurat na te 3 kompletnie brak mi pomysłu, w każdym z nich dochodzę w pewnym momencie do martwego punktu i dalej już kicha.

zad.1
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Pole tego trójkąta jest równe 56. Wyznacz obwód trójkąta.

zad.2
Iloraz ciągu geometrycznego (an) jest równy \(q= \sqrt{5}-2\). Wykaż, że spełniony jest warunek:
\(a_{n+1}=\frac{a_{n}-a_{n+2}}{4}\)

zad.3
Wykaż, że ciąg określony wzorem ogólnym \(a_{n}= \frac{5+5\cdot4+5\cdot4^{2}+...+5\cdot4^{n}}{5+5\cdot2+5\cdot2^{2}+...+5\cdot2^{n}}- \frac{1}{3}\), jest ciągiem geometrycznym.

Z góry bardzo dziękuję za pomoc

[jola]

zad 1.
Czy rozpatrujemy trójkąt równoboczny? Jeżeli tak to zadanie jest trywialne !

[miodan]

Zadanie nic o tym nie mówi, ale jeśli boki tworzą ciąg, to trójkąt nie może być równoboczny - albo ma wszystkie boki różne (przy r róznym od 0), albo (przy r=0) wszystkie równe, ale ten trójkąt nie mógłby być wtedy prostokątny.

[radagast]

Zad.2
\(a_{n+1}=a_nq=a_n( \sqrt{5}-2)\)
\(a_{n+2}=a_nq^2=a_n( \sqrt{5}-2)^2=a_n( 9-4\sqrt{5})\)
\(a_{n+1}=a_n( \sqrt{5}-2) = \frac{4a_n( \sqrt{5}-2) }{4} = \frac{4a_n \sqrt{5}-8a_n}{4} = \frac{a_n+4a_n \sqrt{5}-9a_n}{4} =\frac{a_n-a_n (9-4 \sqrt{5})}{4}=\frac{a_n-a_{n+2}}{4}\)

[jola]

zad 2.
\(\frac{a_n-a_{n+2}}{4}\ =\ \frac{a_n-a_n \cdot q^2}{4}\ =\ \frac{a_n(1-q^2)]}{4}\ =\ \frac{a_n[1-( \sqrt{5}-2)^2] }{4} \ =\\ =\ \frac{a_n(1-5-4+4 \sqrt{5}) }{4} \ =\ \frac{a_n(4 \sqrt{5} -8)}{4}\ =\ \frac{a_n \cdot 4 \cdot ( \sqrt{5}-2) }{4} \ =\ a_n( \sqrt{5} -2)}\ =\ a_n \cdot q\ =\ a_{n+1}\)

[radagast]

Zad.3
\(a_{n}= \frac{5+5\cdot4+5\cdot4^{2}+...+5\cdot4^{n}}{5+5\cdot2+5\cdot2^{2}+...+5\cdot2^{n}}- \frac{1}{3}=\frac{1+4+4^{2}+...+4^{n}}{1+2+2^{2}+...+2^{n}}- \frac{1}{3}= \frac{ \frac{1-4^{n}}{1-4} } {\frac{1-2^{n}}{1-2} }- \frac{1}{3}= \frac{1-4^n}{ 3}\cdot {\frac{1}{1-2^n} } - \frac{1}{3}= \frac{1}{3}( \frac{1-4^n}{1-2^n} -1)
=\frac{1}{3} \frac{1-4^n-1+2^n}{1-2^n}=\frac{1}{3} \frac{2^n-4^n}{1-2^n} =\frac{2^n}{3}\)
no to \((a_n)\) jest geometryczny (\(a_1= \frac{1}{3},q=2)\)

[gpl1260]

Zadanie nic o tym nie mówi

Przeczytaj je. A konkretnie, czwarty wyraz.

ale jeśli boki tworzą ciąg, to trójkąt nie może być równoboczny

Może.

ale ten trójkąt nie mógłby być wtedy prostokątny.

A gdzie była mowa o prostokątnym?

[miodan]

Zadanie nic o tym nie mówi

Przeczytaj je. A konkretnie, czwarty wyraz.

ale jeśli boki tworzą ciąg, to trójkąt nie może być równoboczny

Może.

ale ten trójkąt nie mógłby być wtedy prostokątny.

A gdzie była mowa o prostokątnym?

Ajajajaj źle zadanie przepisałem, sam nie wiem czemu
Teraz treść jest poprawna, przepraszam za kłopot.

[ewelawwy]

niech
a- krótsza przyprostokątna
b-dłuższa przyprostokątna
c-przeciwprostokątna

zatem
\(\{b-a=c-b\\
a^2+b^2=c^2\\
\frac 12 ab = 56\)

czyli do rozwiązania jest układ trzech równań z trzema niewiadomymi

[jola]

a, a-r - długości przyprostokątnych
a+r - długość przeciwprostokątnej

\(\begin{cases}(a+r)^2=a^2+(a-r)^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ a=4r\\ \frac{1}{2}a \cdot (a-r)=56 \end{cases}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \begin{cases}a=4r\\ \frac{1}{2} \cdot 4r \cdot 3r=56 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ r= \frac{2}{3} \sqrt{21}\ \ \ \end{cases}\ \ \ \ \Rightarrow\)

\(\Rightarrow \ \ \ \begin{cases} a= \frac{8}{3} \sqrt{21}\\r= \frac{2}{3} \sqrt{21} \\ a+r= \frac{10}{3} \sqrt{21} \\a-r= 2 \sqrt{21} \end{cases}\ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ l_{obw.}=8 \sqrt{21}\)