1.Wykazać, że dla dowolnej funkcji \(f\) funkcja \(g\)(x)= \(f\)(x)+\(f\)(-x) jest parzysta, a funkcja h(x)= \(f\)(x)-\(f\)(-x) jest nieparzysta.
2. Wykazać, że jeśli funkcja \(f\) jest funkcją parzystą i \(a \in R\), to funkcja \(g\)=a\(f\) -2 jest funkcją parzystą
3. Wykazać, że iloczyn dwóch funkcji nieparzystych o wspólnej dziedzinie jest funkcją parzystą.
4. Wykazać, że jeżeli \(f\) jest funkcją malejącą, to dla dowolnego \(b \in R\) funkcja g= a\(f\)+ b jest:
a) malejąca gdy a \(>\) 0
b) rosnąca gdy a \(<\) 0
5. Wykazać, że funkcja \(f\)(x)= \(\frac{1-x}{1+x}\) jest odwrotna względem siebie. Sporządzić wykres tej funkcji
Funkcje
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
1.
Niech f(x) będzie funkcją parzystą.
Wtedy f(-x)=f(x)
g(x)=f(x)+f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(x)=2f(x)
g(-x)=g(x)
Funkcja g jest parzysta
h(x)=f(x)-f(-x)=f(x)-f(x)=0 - funkcja stała
h(-x)=f(-x)-f(x)f(x)-f(x)=0
h(-x)=-h(x)
Niech f(x)- funkcja niepparzysta
f(-x)=-f(x)
g(x)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0
g(-x)=f(-x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0
g(-x)=g(x)
Funkcja g(x) jest parzysta
h(x)=f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(x)=-2f(x)
h(-x)=-h(x)
Funkcja h(x) jest nieparzysta
Funkcja stała (jest i parzysta, i nieparzysta)
Niech f(x) będzie funkcją parzystą.
Wtedy f(-x)=f(x)
g(x)=f(x)+f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(x)=2f(x)
g(-x)=g(x)
Funkcja g jest parzysta
h(x)=f(x)-f(-x)=f(x)-f(x)=0 - funkcja stała
h(-x)=f(-x)-f(x)f(x)-f(x)=0
h(-x)=-h(x)
Niech f(x)- funkcja niepparzysta
f(-x)=-f(x)
g(x)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0
g(-x)=f(-x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0
g(-x)=g(x)
Funkcja g(x) jest parzysta
h(x)=f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(x)=-2f(x)
h(-x)=-h(x)
Funkcja h(x) jest nieparzysta
Funkcja stała (jest i parzysta, i nieparzysta)
4.
\(x_1>x_2\ \Rightarrow \ f(x_1)<f(x_2)\ \Rightarrow \ f(x_2)-f(x_1)>0\\g(x_1)=af(x_1)+b\\g(x_2)=af(x_2)+b\\g(x_2)-g(x_1)=af(x_2)-af(x_1)-b=a[f(x_2)-f(x_1)]\\a>0\ \Rightarrow \ g(x_2)-g(x_1)>0\ \Rightarrow \ g(x_1)<g(x_2)\\a<0\ \Rightarrow g(x_2)-g(x_1)<0\)
\(a>0\\x_1>x_2\ \Rightarrow \ g(x_1)<g(x_2)\)
Ta funkcja jest malejąca
\(a<0\\x_1>x_2\ \Rightarrow \ g(x_1)>g(x_2)\)
Ta funkcja jest rosnąca
\(x_1>x_2\ \Rightarrow \ f(x_1)<f(x_2)\ \Rightarrow \ f(x_2)-f(x_1)>0\\g(x_1)=af(x_1)+b\\g(x_2)=af(x_2)+b\\g(x_2)-g(x_1)=af(x_2)-af(x_1)-b=a[f(x_2)-f(x_1)]\\a>0\ \Rightarrow \ g(x_2)-g(x_1)>0\ \Rightarrow \ g(x_1)<g(x_2)\\a<0\ \Rightarrow g(x_2)-g(x_1)<0\)
\(a>0\\x_1>x_2\ \Rightarrow \ g(x_1)<g(x_2)\)
Ta funkcja jest malejąca
\(a<0\\x_1>x_2\ \Rightarrow \ g(x_1)>g(x_2)\)
Ta funkcja jest rosnąca
5.
\(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\\D_f=R \setminus \left\{-1 \right\}\)
\(f(f(x))=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}=\frac{\frac{1+x-1+x}{1+x}}{\frac{1+x+1-x}{1+x}}=\frac{2x}{2}=x\\f(f(x))=I_x\)
\(f \circ f(x)=I_x\)
Funkcja f(x) jest dla siebie funkcją odwrotną.
\(\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1-x+2}{1+x}=\frac{2}{x+1}-1\)
To hiperbola \(y=\frac{2}{x}\) przesunięta o wektor [-1; -1].
\(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\\D_f=R \setminus \left\{-1 \right\}\)
\(f(f(x))=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}=\frac{\frac{1+x-1+x}{1+x}}{\frac{1+x+1-x}{1+x}}=\frac{2x}{2}=x\\f(f(x))=I_x\)
\(f \circ f(x)=I_x\)
Funkcja f(x) jest dla siebie funkcją odwrotną.
\(\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1-x+2}{1+x}=\frac{2}{x+1}-1\)
To hiperbola \(y=\frac{2}{x}\) przesunięta o wektor [-1; -1].