Funkcje

Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
cherryvis3
Często tu bywam
Często tu bywam
Posty: 174
Rejestracja: 21 gru 2010, 10:23
Podziękowania: 170 razy
Otrzymane podziękowania: 4 razy
Płeć:

Funkcje

Post autor: cherryvis3 »

1.Wykazać, że dla dowolnej funkcji \(f\) funkcja \(g\)(x)= \(f\)(x)+\(f\)(-x) jest parzysta, a funkcja h(x)= \(f\)(x)-\(f\)(-x) jest nieparzysta.
2. Wykazać, że jeśli funkcja \(f\) jest funkcją parzystą i \(a \in R\), to funkcja \(g\)=a\(f\) -2 jest funkcją parzystą
3. Wykazać, że iloczyn dwóch funkcji nieparzystych o wspólnej dziedzinie jest funkcją parzystą.
4. Wykazać, że jeżeli \(f\) jest funkcją malejącą, to dla dowolnego \(b \in R\) funkcja g= a\(f\)+ b jest:
a) malejąca gdy a \(>\) 0
b) rosnąca gdy a \(<\) 0
5. Wykazać, że funkcja \(f\)(x)= \(\frac{1-x}{1+x}\) jest odwrotna względem siebie. Sporządzić wykres tej funkcji
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

1.
Niech f(x) będzie funkcją parzystą.
Wtedy f(-x)=f(x)

g(x)=f(x)+f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)
g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(x)=2f(x)

g(-x)=g(x)
Funkcja g jest parzysta

h(x)=f(x)-f(-x)=f(x)-f(x)=0 - funkcja stała
h(-x)=f(-x)-f(x)f(x)-f(x)=0

h(-x)=-h(x)


Niech f(x)- funkcja niepparzysta
f(-x)=-f(x)

g(x)=f(x)+f(-x)=f(x)-f(x)=0
g(-x)=f(-x)+f(x)=-f(x)+f(x)=0

g(-x)=g(x)

Funkcja g(x) jest parzysta

h(x)=f(x)-f(-x)=f(x)+f(x)=2f(x)
h(-x)=f(-x)-f(x)=-f(x)-f(x)=-2f(x)

h(-x)=-h(x)

Funkcja h(x) jest nieparzysta

Funkcja stała (jest i parzysta, i nieparzysta)
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

2.
f(x)- funkcja parzysta

f(-x)=f(x)

g(x)=af(x)-2

g(-x)=af(-x)-2=af(x)-2

g(-x)=g(x)

g(x) jest funkcją parzystą.
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

3.
f(x)- funkcja nieparzysta
g(x)- funkcja nieparzysta (obie mają tą samą dziedzinę)

f(-x)=-f(x)
g(-x)=-g(x)

h(x)=f(x)g(x)

h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)(-g(x))=f(x)g(x)

h(-x)=h(x)

h(x)- funkcja parzysta
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

4.
\(x_1>x_2\ \Rightarrow \ f(x_1)<f(x_2)\ \Rightarrow \ f(x_2)-f(x_1)>0\\g(x_1)=af(x_1)+b\\g(x_2)=af(x_2)+b\\g(x_2)-g(x_1)=af(x_2)-af(x_1)-b=a[f(x_2)-f(x_1)]\\a>0\ \Rightarrow \ g(x_2)-g(x_1)>0\ \Rightarrow \ g(x_1)<g(x_2)\\a<0\ \Rightarrow g(x_2)-g(x_1)<0\)

\(a>0\\x_1>x_2\ \Rightarrow \ g(x_1)<g(x_2)\)

Ta funkcja jest malejąca

\(a<0\\x_1>x_2\ \Rightarrow \ g(x_1)>g(x_2)\)

Ta funkcja jest rosnąca
irena
Guru
Guru
Posty: 22300
Rejestracja: 10 paź 2009, 19:08
Otrzymane podziękowania: 9858 razy
Płeć:

Post autor: irena »

5.
\(f(x)=\frac{1-x}{1+x}\\D_f=R \setminus \left\{-1 \right\}\)

\(f(f(x))=\frac{1-\frac{1-x}{1+x}}{1+\frac{1-x}{1+x}}=\frac{\frac{1+x-1+x}{1+x}}{\frac{1+x+1-x}{1+x}}=\frac{2x}{2}=x\\f(f(x))=I_x\)

\(f \circ f(x)=I_x\)

Funkcja f(x) jest dla siebie funkcją odwrotną.

\(\frac{1-x}{1+x}=\frac{-1-x+2}{1+x}=\frac{2}{x+1}-1\)

To hiperbola \(y=\frac{2}{x}\) przesunięta o wektor [-1; -1].
ODPOWIEDZ