Cecha

[cherryvis3]

Rozwiąż równanie:


1. [\(\frac{5x-2}{3}\)]=\(\frac{7x+5}{4}\)

2. \([x+3]\)=\(\frac{3x-4}{2}\)

[ewelawwy]

1.
\(\frac{5x-2}{3}-1<\lfloor \frac{5x-2}{3} \rfloor \le \frac{5x-2}{3}\\
\frac{5x-2}{3}-1< \frac{7x+5}{4} \le \frac{5x-2}{3}/\cdot 12\\
20x-8-12<21x+15\le 20x-8\\
20x-20<21x+15\le 20x-8\\
20x-35<21x\le 20x-23\\
-35<x\le-23\\
x\in \left(-35,-23 \right>\)
czyli rozwiązaniami są takie x z przedziału (-35,-23>, dla których \(\frac{7x+5}{4} \in \mathbb{Z}\)

[ewelawwy]

2.
\(x+3-1<\lfloor x+3 \rfloor \le x+3\\
x+3-1<\frac{3x-4}{2} \le x+3\\
x+2<\frac{3x-4}{2}\le x+3/\cdot 2\\
2x+4<3x-4\le 2x+6\\
2x+8<3x\le 2x+10\\
8<x\le10\\
x\in \left(8,10\right>\)
rozwiązaniami są takie x z przedziału (8,10>, dla których \(\frac{3x-4}{2} \in \mathbb{Z}\)

[ewelawwy]

jest w sumie jeszcze inny sposób (nie trzeba później zgadywać tych całkowitych rozwiązań)
1.
\(\frac{7x+5}{4}=t \; \Rightarrow \; x=\frac{4t-5}{7}, \; t \in \mathbb {Z}\)
\(\frac{5x-2}{3}-1<\lfloor \frac{5x-2}{3} \rfloor \le \frac{5x-2}{3}\\
\frac{5x-2}{3}-1<\frac{7x+5}{4} \le \frac{5x-2}{3}\\
\frac{5\cdot \frac{4t-5}{7}-2}{3}-1<t \le \frac{5\cdot \frac{4t-5}{7}-2}{3}/\cdot 3\\
5\cdot \frac{4t-5}{7}-2-3<3t\le 5\cdot \frac{4t-5}{7}-2\\
\frac{20t-25}{7}-5<3t\le \frac{20t-25}{7}-2/\cdot 7\\
20t-25-35<21t\le 20t-25-14\\
-60<t\le -39\)
\(t\in \left(-60,-39\right>\; \wedge \; t\in \mathbb{Z}\)\(\; \Rightarrow \; t\in\{-59,-58,-57,-56,...,-41,-40,-39\}\)
i teraz można wyliczyć iksy podstawiając kolejne t do wzoru \(x=\frac{4t-5}{7}\):
\(x\in \{-\frac{241}{7},\; -\frac{237}{7},\; -\frac{233}{7},...,\; -\frac{165}{7},\; -\frac{161}{7}\}\)

2. analogicznie