1.Dla jakich całkowitych wartości parametru m rozwiązanie układu
\(\begin{cases} mx + (2m-1)y = 3m\\x+ my = m\end{cases}\) wyraża się liczbami różnych znaków?
2.Dla jakich wartości parametru a istnieje dokładnie jedna para licz (x,y) spełniająca warunki
\(\begin{cases} x^2+ y^2 +2x \le 1\\x -y + a = 0\end{cases}\) ? Wyznaczyć te liczby
Układy równań z parametrem
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
cherryvis3
- Często tu bywam
- Posty: 174
- Rejestracja: 21 gru 2010, 10:23
- Podziękowania: 170 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
- Płeć:
1.
\(W= \begin{vmatrix}m&2m-1\\1&m \end{vmatrix} =m^2-2m+1=(m-1)^2\neq0\)
\(m\neq1\)
\(W_x= \begin{vmatrix}3m&2m-1\\m&m \end{vmatrix} =3m^2-2m^2+m=m^2+m=m(m+1)\)
\(W_y= \begin{vmatrix}m&3m\\1&m \end{vmatrix} =m^2-3m=m(m-3)\)
\(x=\frac{m(m+1)}{(m-1)^2}\)
\(y=\frac{m(m-3)}{(m-1)^2}\)
\(xy<0\\)
\(m(m+1)\cdot\ m(m-3)<0\)
\(m^2(m+1)(m-3)<0\)
\(m\in(-1;\ 0)\ \cup\ (0;\ 3)\)
\(W= \begin{vmatrix}m&2m-1\\1&m \end{vmatrix} =m^2-2m+1=(m-1)^2\neq0\)
\(m\neq1\)
\(W_x= \begin{vmatrix}3m&2m-1\\m&m \end{vmatrix} =3m^2-2m^2+m=m^2+m=m(m+1)\)
\(W_y= \begin{vmatrix}m&3m\\1&m \end{vmatrix} =m^2-3m=m(m-3)\)
\(x=\frac{m(m+1)}{(m-1)^2}\)
\(y=\frac{m(m-3)}{(m-1)^2}\)
\(xy<0\\)
\(m(m+1)\cdot\ m(m-3)<0\)
\(m^2(m+1)(m-3)<0\)
\(m\in(-1;\ 0)\ \cup\ (0;\ 3)\)
2.
\(x^2+2x+y^2\le1\\(x+1)^2+y^2\le2\)
Ta nierówność opisuje koło o środku w punkcie \(S=(-1;\ 0)\) i promieniu równym \(r=\sqrt{2}\).
\(x-y+a=0\\y=x+a\)
To równanie opisuje prostą.
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli prosta ma o okręgiem tego koła dokładnie jeden wspólny punkt.
\((x+1)^2+y^2=2\)
\(y=x+a\)
\((x+1)^2+(x+a)^2=2\)
\(x^2+2x+1+x^2+2ax+a^2-2=0\)
\(2x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\)
\(\Delta=4(a+1)^2-8(a^2-1)=4a^2+8a+4-8a^2+8=-4a^2+8a+12=0\)
\(-4a+8a+12=0\\a^2-2a-3=0\)
\(\Delta_1=4+12=16\)
\(a_1=\frac{2-4}{2}=-1\ \vee\ a=\frac{2+4}{2}=3\)
\(a_1=-1\ \vee\ a_2=3\)
\(x^2+2x+y^2\le1\\(x+1)^2+y^2\le2\)
Ta nierówność opisuje koło o środku w punkcie \(S=(-1;\ 0)\) i promieniu równym \(r=\sqrt{2}\).
\(x-y+a=0\\y=x+a\)
To równanie opisuje prostą.
Układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, jeśli prosta ma o okręgiem tego koła dokładnie jeden wspólny punkt.
\((x+1)^2+y^2=2\)
\(y=x+a\)
\((x+1)^2+(x+a)^2=2\)
\(x^2+2x+1+x^2+2ax+a^2-2=0\)
\(2x^2+2(a+1)x+a^2-1=0\)
\(\Delta=4(a+1)^2-8(a^2-1)=4a^2+8a+4-8a^2+8=-4a^2+8a+12=0\)
\(-4a+8a+12=0\\a^2-2a-3=0\)
\(\Delta_1=4+12=16\)
\(a_1=\frac{2-4}{2}=-1\ \vee\ a=\frac{2+4}{2}=3\)
\(a_1=-1\ \vee\ a_2=3\)