Granica z regułą de l' Hospitala

[Wiktoriiia]

Oblicz granicę funkcji przy użyciu reguły de l' Hospitala.

\(h) \lim_{x\to 0^+ } (tg x)^{tg x}\)

\(i) \lim_{x\to 1^-} (1-x)^{cos {\frac{ \pi x }{2}} }\)

Proszę o pomoc
To są odpowiedzi:
h)1
i)1

[Galen]

Poszukaj,bo te zadania tu są.
Pisanie jest pracochłonne,więc korzystaj z pracy Jolki.
http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=37&t=16340

[Wiktoriiia]

Nie ma właśnie tam tych zadań

[radagast]

h) rzeczywiście nie ma ale i) to b) z zadań podanych przez Galena
Za to h) robi się analogicznie, zaraz Ci policzę (chyba ,że mnie ktoś ubiegnie)

[radagast]

heeej Galen , ale to ja się tam napracowałam a nie Jola (zresztą widzę,że zrobiłam tylko a))

[Galen]

Podaję jeszcze jeden adres:
http://forum.zadania.info/viewtopic.php ... tala#p3168
Wszystkie zadania z Twoich postów robi się "na to samo kopyto"
Radegast -sorry-Widzę tu Twoją pracę,a pamiętam również prace Joli...
Pracowałyście równolegle,ale nie mam czasu poszukać.
Wiktoria-radzę wpisać Hospital i szukać ...

[radagast]

Zgodnie z obietnicą:

\(\lim_{x\to 0^+ } (tgx)^{tgx} =\lim_{x\to 0^+ } e^{ln (tgx^{tgx})}=\lim_{x\to 0^+ } e^{tgx ln (tgx)=\)
policzmy granicę \(\lim_{x\to 0^+ } tgx (ln (tgx))=\lim_{x\to 0^+ } \frac{ln (tgx)}{ \frac{1}{tgx } } = ^H \lim_{x\to 0^+ } \frac{ \frac{1}{tgx} \frac{1}{cos^2x } }{- \frac{1}{tg^2x} \frac{1}{cos^x} } =\lim_{x\to 0^+ } (-tg x) =0\)
No to
\(\lim_{x\to 0^+ } tgx^{tgx} =e^0=1\)

[radagast]

Może to i jest "na jedno kopyto" ale szczerze mówiąc to drugie nijak mi nie chce wyjść. Może ktoś sie pokusi...

[slawekstudia6]

\(i) \lim_{x\to 1^-} (1-x)^{cos {\frac{ \pi x }{2}} }=\lim_{x\to 1^-} (1-x)^{ \frac{-1}{x}\cdot (-x) cos {\frac{ \pi x }{2}} }=...\)

\(\lim_{x\to 1^-} (1-x)^{\frac{-1}{x}}=e\)

\(\lim_{x\to 1^-} x cos {\frac{ \pi x }{2}}=\left[1 \cdot cos {\frac{ \pi }{2}} \right] =0\)

\(...=e^0=1\)

[radagast]

\(\lim_{x\to 1^-} (1-x)^{\frac{-1}{x}}=e\)

Jesteś pewien ?? \(0^{-1}= \infty \neq e\)
Coś tam jest nie tak i nijak nie mogę zrozumieć (bo, że jest dobrze to wierzę)

[radagast]

nie, właściwie to nie wierzę ! Nie tędy droga

[Galen]

\(\lim_{x\to 1_-}e^{ln(x-1)^{cos( \frac{ \pi x}{2})}}= \lim_{x\to 1_-}e^{cos( \frac{ \pi x}{2}) \cdot ln(1-x)}\)
Obliczam granicę wykładnika potęgi i dochodzę do tego,że jest to liczba zero.
\(\lim_{x\to 1_-}cos( \frac{ \pi x}{2}) \cdot ln(1-x)= \lim_{x\to 1_-} \frac{ln(1-x)}{(cos( \frac{ \pi x}{2}))^{-1} }= \lim_{x\to 1_-} \frac{ \frac{-1}{1-x} }{ \frac{- \pi }{2} \cdot (-sin( \frac{ \pi x}{2}) \cdot [cos( \frac{ \pi x}{2})]^{-2} }=\)
\(= \lim_{x\to1_- } \frac{ \frac{1}{x-1} }{ \frac{ \pi }{2} \cdot sin( \frac{ \pi x}{2}) \cdot cos^{-2}( \frac{ \pi x}{2}) }= \lim_{x\to 1_-} \frac{cos^2( \frac{ \pi x}{2}) }{x-1} \cdot \frac{1}{ \frac{ \pi }{2} \cdot sin( \frac{ \pi x}{2}) }=\)
\(= \frac{cos^2( \frac{ \pi x}{2}) }{ \frac{ \pi }{2} \cdot (x-1) \cdot sin( \frac{ \pi x}{2}) }(H)= \lim_{x\to 1_-} \frac{2cos( \frac{ \pi x}{2) \cdot [-sin( \frac{ \pi x}{2})] \cdot \frac{ \pi }{2} } }{ \frac{ \pi }{2} \cdot [sin( \frac{ \pi x}{2})+(x-1) \cdot \frac{ \pi }{2} \cdot cos( \frac{ \pi x}{2}) }=\)
\(= \lim_{x\to 1_-} \frac{-sin( \pi x) \cdot \frac{ \pi }{2} }{ \frac{ \pi }{2} \cdot [sin( \frac{ \pi x}{2}) +(x-1) \cdot \frac{ \pi }{2} \cdot cos( \frac{ \pi x}{2}) ] }= \frac{0}{1+0 \cdot \frac{ \pi }{2} \cdot 0 }= \frac{0}{1}=0\)
Ostateczni dostaję granicę \(e^0=1\)

[radagast]

No, teraz dobrze
A swoją drogą, ktoś kiedyś napisał , że umie to policzyć bez reguły H. I że to prościej jest. Chciałabym to zobaczyć...

[Wiktoriiia]

Dziękuję bardzo za pomoc wszystkim:D