4 Całki

[mgrobel]

\(\int_{}^{} e^x \left(1+ \frac{e^{-x}}{cos^2x} \right)dx\)

\(\int_{}^{}(3x+1)e^{-3x^2-2}dx\)

\(\int_{}^{} \frac{x}{ \sqrt{x+1}- \sqrt[3]{x+1} }dx\)

\(\int_{}^{} \frac{cos^3x}{sin^2x}dx\)

Z góry dziękuję za rozwiązanie. Pozdrawiam

[radagast]

To na dobry początek pierwsza:
\(\int e^x(1+ \frac{e^{-x}}{cos^2x} )dx=\)

\(\int e^x dx+ \int\frac{1}{cos^2x} dx=\)

\(e^x + tgx +C\)

[radagast]

Czy w tym drugim , to po 2 w wykładniku nie ma przypadkem x ? (byłoby duzo łatwiej )

[radagast]

Nie było łatwo ale chyba mam czwartą:
\(\int \frac{cos^3x}{sin^2x}dx=\)

\(\int \frac{cosx(1-sin^2x)}{sin^2x}dx=\)

\(\int cosx(\frac{1}{sin^2x}-1)dx=\)

\(\int cosx\frac{1}{sin^2x}dx- \int cosxdx =\)

\(-sinx-\int cosx(ctgx)'dx=\)

\(-sinx- cosxctgx - \int sinxctgxdx=\)

\(-sinx- cosxctgx - \int cosxdx=\)

\(-sinx- cosxctgx - sinx +C=\)

\(-cosxctgx-2sinx +C=\)
chyba trzebaby to sprawdzić (czy pochadna jest taka jak trzeba) ale to juz pozostawie Tobie. Jeśli coś nie tak , to melduj, będę poprawiać

[radagast]

Trzecia:
\(\int \frac{x}{ \sqrt{x+1} - \sqrt[3]{x+1} } dx\)= (*)

na początek podstawmy: \(x+1=t^3\), \(\frac{dx}{dt} =3t^2\), \(dx=3t^2dt\)

(*)=\(\int \frac{t^3-1}{ \sqrt{t^3} -t} \cdot 3t^2dt\)=
\(3\int \frac{t^3-1}{ t(\sqrt{t} -1)} \cdot t^2dt=\)
\(3\int \frac{t^3-1}{ \sqrt{t} -1} \cdot tdt=\)
\(3\int \frac{t^4-t}{ \sqrt{t} -1} dt=\)(**)

teraz podstawmy: \(t=u^2\),\(\frac{dt}{du}=2u\),\(dt=2udu\)

(**)= \(3\int \frac{u^8-u^2}{ \sqrt{u^2} -1} 2udu=\)
\(6\int \frac{u^3(u^6-1)}{ u -1} du=\)
\(6\int \frac{u^3(u^3-1) (u^3+1)}{ u -1} du=\)
\(6\int \frac{u^3(u-1)(u^2+u+1) (u^3+1)}{ u -1} du=\)
\(6\int u^3(u^2+u+1) (u^3+1)du=\)... i dalej juz łatwo (tylko pracochłonnie ) dasz rade ?