Na walec o masie M = 5 kg i promieniu r = 0.1 m osadzony na poziomej osi nawinieto sznur, na koncu którego zawieszono ciezarek o masie m = 2 kg. Na jaka odległosc musi sie opuscic ciężarek pod wpływem własnego ciężaru, aby wykonał 20 obr/s ?
Moze ma ktos pomysł na to zadanie?
Bryła sztywna i ciężarek
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
glodzio
- Rozkręcam się
- Posty: 40
- Rejestracja: 12 gru 2010, 10:18
- Otrzymane podziękowania: 16 razy
- Płeć:
Witam
Zadanie to można rozwiązać wykorzystując zasadę zachowania energii. Opadający ciężarek powoduje rozkręcanie się walca. Zatem ciężarek zamienia swoją energię potencjalną na energię kinetyczną ruchu obrotowego walca oraz energię kinetyczną samego ciężarka.
\(E_p=E_{kw}+E_{kc}\), gdzie:
\(E_p\) - energia potencjalna ciężarka
\(E_{kw}\) - energia kinetyczna walca
\(E_{kc}\) - energia kinetyczna ciężarka
Energia potencjalna spadającego ciężarka wynosi:
\(E_p=m \cdot g \cdot h\), gdzie: \(h\) - odległość na jaką musi opuścić się ciężarek
Energia kinetyczna walca:
\(E_{kw}= \frac{1}{2} I \cdot \omega^2\), gdzie: \(I\) - masowy moment bezwładności walca równy:
\(I= \frac{1}{2}M \cdot r^2\)
\(I= \frac{1}{2}5 \cdot 0,1^2 = 0,025 \left[ kg \cdot m^2\right]\)
\(\omega\) to prędkość kątowa walca:
\(\omega = 2 \pi \cdot n\), gdzie \(n\) to prędkość obrotowa walca \(\left[ \frac{obr}{s} \right]\)
\(\omega =2 \cdot 3,14 \cdot 20=65,6 \left[ \frac{rad}{s} \right]\)
Zatem energia kinetyczna walca:
\(E_{kw}= \frac{1}{2}I \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,025 \cdot 65,6^2 \approx 107,6 \left[ J\right]\)
Energia kinetyczna ciężarka:
\(E_{kc}= \frac{1}{2}m \cdot v^2\), gdzie \(v\) - prędkość liniowa ciężarka. Prędkość ta równa jest prędkości
obwodowej walca:
\(v= \omega \cdot r\)
\(v=65,6 \cdot 0,1 = 6,56 \left[ \frac{m}{s^2}\right]\)
Zatem:
\(E_{kc}= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6,56^2 \approx 43 \left[ J\right]\)
Rozpisując pierwsze równanie:
\(m \cdot g \cdot h= E_{kw}+E_{kc}\) i przekształcając wyznaczamy odległość \(h\):
\(h= \frac{E_{kw}+E_{kc}}{m \cdot g}\)
\(h = \frac{107,6+43}{2 \cdot 9,81} \approx 7,68 \left[ m\right]\)
Koniec zadania
Zadanie to można rozwiązać wykorzystując zasadę zachowania energii. Opadający ciężarek powoduje rozkręcanie się walca. Zatem ciężarek zamienia swoją energię potencjalną na energię kinetyczną ruchu obrotowego walca oraz energię kinetyczną samego ciężarka.
\(E_p=E_{kw}+E_{kc}\), gdzie:
\(E_p\) - energia potencjalna ciężarka
\(E_{kw}\) - energia kinetyczna walca
\(E_{kc}\) - energia kinetyczna ciężarka
Energia potencjalna spadającego ciężarka wynosi:
\(E_p=m \cdot g \cdot h\), gdzie: \(h\) - odległość na jaką musi opuścić się ciężarek
Energia kinetyczna walca:
\(E_{kw}= \frac{1}{2} I \cdot \omega^2\), gdzie: \(I\) - masowy moment bezwładności walca równy:
\(I= \frac{1}{2}M \cdot r^2\)
\(I= \frac{1}{2}5 \cdot 0,1^2 = 0,025 \left[ kg \cdot m^2\right]\)
\(\omega\) to prędkość kątowa walca:
\(\omega = 2 \pi \cdot n\), gdzie \(n\) to prędkość obrotowa walca \(\left[ \frac{obr}{s} \right]\)
\(\omega =2 \cdot 3,14 \cdot 20=65,6 \left[ \frac{rad}{s} \right]\)
Zatem energia kinetyczna walca:
\(E_{kw}= \frac{1}{2}I \cdot \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,025 \cdot 65,6^2 \approx 107,6 \left[ J\right]\)
Energia kinetyczna ciężarka:
\(E_{kc}= \frac{1}{2}m \cdot v^2\), gdzie \(v\) - prędkość liniowa ciężarka. Prędkość ta równa jest prędkości
obwodowej walca:
\(v= \omega \cdot r\)
\(v=65,6 \cdot 0,1 = 6,56 \left[ \frac{m}{s^2}\right]\)
Zatem:
\(E_{kc}= \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6,56^2 \approx 43 \left[ J\right]\)
Rozpisując pierwsze równanie:
\(m \cdot g \cdot h= E_{kw}+E_{kc}\) i przekształcając wyznaczamy odległość \(h\):
\(h= \frac{E_{kw}+E_{kc}}{m \cdot g}\)
\(h = \frac{107,6+43}{2 \cdot 9,81} \approx 7,68 \left[ m\right]\)
Koniec zadania