KOMBINATORYKA

[jagódeczka]

Bardzo proszę o pomoc, rozwiązanie tej karty pracy jest niezbedene do zaliczenie semertu, ajestem w klasie maturalnej. Błagam o pomoc!!! to niesanowicie pilne!!
1. Na ile sposobów można ustawić w szeregu 3 chłopców i 2 dziewczynki tak, aby osoby tej samej płci nie stały obok siebie?
2. Wybieramy liczbę a ze zbioru A={2,3,4,5}oraz liczbę b ze zbioru B={1,4}. Ile jest takich par (a,b), że iloczyn a*b jest liczbą nieparzystą.
3. Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które są podzielne przez 6 lub przez 10.
4. Ile jest wszystkich liczb naturalnych których obie cyfry są mniejsze od 5.
5. Na ile sposobów Ala i Bartek mogą usiąść na dwóch spośród pięciu miejsc w kinie.
6. ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych, w których cyfra dziesiątek jest o 2 większa od cyfry jedności
7. ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje jedna cyfra nieparzysta i trzy parzyste. (UWAGA: zero jest liczbą parzystą)
8. w klasie jest 13 dziewcząt i 15 chłopców. Na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację , w której będzie tylko jedna dziewczynka.
9. Przedstawiając liczby 1,2,3,4 tworzymy czterowyrazowe ciągi równowartościowe. Ile jest takich wyrazów?
10. na górę prowadzi 5 różnych dróg. Michał z Wojtkiem chcą zaplanować wycieczkę na gorę i z powrotem. Ile jest różnych możliwości wyboru trasy tak, aby z powrotem szli inną drogą niż pod górę.
11. Krzysiek urodził się w 1995 roku. Ile różnych czterocyfrowych kodów można utworzyć, przedstawiając dowolnie cyfry jego roku urodzenia?
12. Na płaszczyźnie danych jest 7różnych punktów. Ile jest wszystkich odcinków, których końcami są te punkty?
13. Na ile sposobów można z talii 52 kart wybrać 4 karty w taki sposób , aby wśród wylosowanych kart były:
a) jeden pik i dwa trefle
b) co najmniej jeden kier
14. Do kina wybrało się 7 znajomych: trzy dziewczyny i czterech chłopców, wśród nich Kasia i Tomek. Mają bilety na kolejne miejsca znajdujące się w jednym rzędzie. Na ile sposobów mogą zająć te miejsca, jeżeli:
a) Kasia i Tomek mają siedzieć obok siebie
b) między dowolnymi dwoma chłopakami ma siedzieć jedna dziewczyna
15. Ile jest liczb naturalnych mniejszych niż 50, które w wyniku podzielenia przez 8 dają resztę 2?

[gpl1260]

7.
Rozważmy dwa możliwe przypadki; będą się wykluczały, więc odpowiedź to suma odpowiedzi z tych przypadków.
(*) Jeśli cyfra tysięcy będzie nieparzysta (czyli jedna z 5 cyfr: 1,3,5,7,9), to obojętnie jakie cyfry parzyste (0,2,4,6,8) będą na dalszych miejscach, liczba będzie dobra. To daje 5*5*5*5 dobrych liczb (5 możliwości na wybór cyfry setek, i po 5 na cyfrę dziesiątek i jedności).
(**) Jeśli cyfra tysięcy będzie parzysta, to może to być jedna z 4 cyfr: 2,4,6,8 (zero nie, bo liczba ma być 4-cyfrowa). Zostały trzy cyfry, wśród nich mają być dwie parzyste i jedna nieparzysta. Najpierw ustalmy pozycję cyfry nieparzystej - są 3 możliwości (może być cyfrą jedności, setek albo tysięcy). Następnie na ustalonej pozycji możemy postawić jedną z 5 cyfr: 1,3,5,7,9, natomiast na każdej z pozostałych dwóch pozycji jedną z 5 cyfr parzystych 0,2,4,6,8. To daje 4*3*5*5*5 dobrych liczb.

14.
a) Zauważmy najpierw, że jeśli Kasia i Tomek już usiądą, to zostaje 5 wolnych miejsc, na których 5 pozostałych osób może usiąść dowolnie. Tzn. przy każdych ustalonych miejscach Kasi i Tomka, jest 5*4*3*2*1=120 sposobów usadzenia reszty. Pozostaje tylko policzyć, na ile sposobów Kasia i Tomek mogą usiąść obok siebie. Wśród 7 kolejnych miejsc jest 6 par miejsc kolejnych (pierwsze i drugie, drugie i trzecie, itd). Każdą taką parę miejsc Kasia i Tomek mogą zająć na wda sposoby (Kasia po lewej, Tomek po prawej stronie albo na odwrót). Mają więc 6*2=12 możliwości usiąść obok siebie. Zatem cała grupa może zająć miejsca na 12*120 sposobów. Szkoda że rozwiązanie tego zadania nie zostało pokazane w popularnym serialu, może wtedy mniej ludzi miałoby problemy z elementarną kombinatoryką.
b) 0 (nie ma takiej możliwości), bo jakkolwiek usiadłoby trzech chłopaków, to między pierwszym i drugim powinna być jedna dziewczyna, między drugim i trzecim jedna, ale wtedy między pierwszym i trzecim już są dwie, a miała być jedna.

Pokombinuj trochę sama. Np. zadania 3,4,6,9,11 są podobne (też z cyframi) i łatwiejsze od zadania 7. Akurat szkolna kombinatoryka ma to do siebie, że poza umiejętnością logicznego myślenia prawie nic innego umieć nie trzeba.

[jagódeczka]

bardzo dziękuję za pomoc, niestety łatwe jest to tylko dla kogoś kto to rozumie.