Teoria liczb, teoria grafów, indukcja
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
gelo
Rozkręcam się
Posty: 42 Rejestracja: 22 lis 2010, 16:06
Post
autor: gelo » 29 lis 2010, 17:42
Niech \(n \ge 2\) . Pokazać, że jeśli n nie jest postaci \(n=6k+3,\) to \(n ^{2}+2 ^{n}\) jest złożona.
gpl1260
Stały bywalec
Posty: 646 Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
Otrzymane podziękowania: 171 razy
Płeć:
Post
autor: gpl1260 » 29 lis 2010, 17:46
Dla n parzystych trywialne, dla nieparzystych postaci 6k+1 oraz 6k+5 wystarczy popatrzeć na reszty modulo 3. Też trywialne.
gelo
Rozkręcam się
Posty: 42 Rejestracja: 22 lis 2010, 16:06
Post
autor: gelo » 29 lis 2010, 17:58
Możesz to rozpisać dla mnie to niestety nie jest trywialne
gpl1260
Stały bywalec
Posty: 646 Rejestracja: 16 lis 2010, 22:36
Otrzymane podziękowania: 171 razy
Płeć:
Post
autor: gpl1260 » 29 lis 2010, 18:04
Dla n parzystych mamy liczby parzyste większe od 4, a więc złożone.
Jak n jest postaci 6k+1, to
\(n^2+2^n = 36k^2+12k+1+2\cdot 4^{3k} \equiv 1+2 \equiv 0\pmod{3}\)
i nasza liczba jest złożona, bo podzielna przez 3 i większa od 3 (bo n>1 z założenia).
Podobnie dla n postaci 6k+5.