1. \(\frac{1}{sin(x)}\)
2. \(\frac{1}{arcsin(x)}\)
3. \(\frac{1}{ln(x)}\)
4. \(\frac{1}{x ^{2}}\)
5. \(\frac{1}{x ^{3}}\)
6. \(\frac{1}{x ^{-2}}\)
7. \(\frac{1}{x ^{-3}}\)
itd... Czy jest jakaś ogólna reguła?
Jak szkicować wykresy funkcji 1/...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
supergolonka
- Moderator
- Posty: 1869
- Rejestracja: 06 mar 2008, 10:53
- Otrzymane podziękowania: 29 razy
- Płeć:
- Kontakt:
Jedyne co da się w takiej sytuacji robić, to naprawdę szkicować. Nie jest to łatwe, bo trzeba dobrze czuć jak działają funkcje - w zasadzie zaczynamy być blisko granic i pochodnych.
Powiedzmy, że chcemy narysować \(f(x)=\frac{1}{f(x)}\).
Co robimy? Patrzymy na przedziały monotoniczności funkcji f(x) i na każdym takim przedziale funkcja 1/f(x) też będzie monotoniczna, tylko w drugą stronę (malejąca zamiast rosnąca, etc.). Tak jest chyba, że f się zeruje w tym przedziale - wtedy 1/f dąży do + lub - nieskończoności w zależności od znaku f.
Ok. popatrzmy na przykładach.
4. 1/x^2. Funkcja x^2 maleje od \(+\infty\) do 0 na przedziale \((-\infty,0)\), więc funkcja 1/x^2 będzie na tym przedziale rosła od \(\frac{1}{-\infty}=0\) do \(\frac{1}{0^+}=+\infty\). Plus przy zerze oznacza, że x^2 dąży do zera przez liczby dodatnie. Podobnie jest z przedziałem \((0,+\infty)\). Funkcja x^2 jest rosnąca, więc 1/x^2 będzie malejąca od \(\frac{1}{0^+}=+\infty\) do \(\frac{1}{+\infty}=0.\) To nam z grubsza mówi jak wygląda wykres (skąd dokąd jedzie), nic natomiast nie wiemy o kształcie wykresu (np. czy jest wklęsły, wypukły), ale w końcu tylko szkicujemy.
Podobnie dość łatwo można zrobić 2. i 5.
6 i 7 to po prostu x^2 i x^3 bez jednego punktu.
Z 1. jest najgorzej, bo mamy okresowość i pełno zer, ale też tak można.
Powiedzmy, że chcemy narysować \(f(x)=\frac{1}{f(x)}\).
Co robimy? Patrzymy na przedziały monotoniczności funkcji f(x) i na każdym takim przedziale funkcja 1/f(x) też będzie monotoniczna, tylko w drugą stronę (malejąca zamiast rosnąca, etc.). Tak jest chyba, że f się zeruje w tym przedziale - wtedy 1/f dąży do + lub - nieskończoności w zależności od znaku f.
Ok. popatrzmy na przykładach.
4. 1/x^2. Funkcja x^2 maleje od \(+\infty\) do 0 na przedziale \((-\infty,0)\), więc funkcja 1/x^2 będzie na tym przedziale rosła od \(\frac{1}{-\infty}=0\) do \(\frac{1}{0^+}=+\infty\). Plus przy zerze oznacza, że x^2 dąży do zera przez liczby dodatnie. Podobnie jest z przedziałem \((0,+\infty)\). Funkcja x^2 jest rosnąca, więc 1/x^2 będzie malejąca od \(\frac{1}{0^+}=+\infty\) do \(\frac{1}{+\infty}=0.\) To nam z grubsza mówi jak wygląda wykres (skąd dokąd jedzie), nic natomiast nie wiemy o kształcie wykresu (np. czy jest wklęsły, wypukły), ale w końcu tylko szkicujemy.
Podobnie dość łatwo można zrobić 2. i 5.
6 i 7 to po prostu x^2 i x^3 bez jednego punktu.
Z 1. jest najgorzej, bo mamy okresowość i pełno zer, ale też tak można.