zadanie z walca

[malgos]

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, ktorego przekątna o długości 14 cm tworzy z płaszczyzną podstwy 60*. Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

[Mi82]

W przekroju osiowym w wyniku poprowadzenia przekątnej o długości 14 cm powstaje trójkąt, którego kąty mają odpowiednio: 60* (z treści zadania) 30* oraz 90*.

W takim trójkącie boki mają charakterystyczne długości: odcinek leżący przy katach 90* i 60* równy jest a (w naszym zadaniu będzie to średnica podstawy, czyli 2r), odcinek przy katach 90* i 30* równy jest \(a\sqrt{3}\)(w naszym zadaniu będzie to \(2r\sqrt{3}\)), a odcinek leżący przy katach 60* i 30* równy jest \(2a\)(w naszym zadaniu będzie to\(4r\).
(własności tego trójkąta wynikają z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym ale w gimnazjum nie ma chyba jeszcze tego w materiale nauczania, dlatego nie rozpisuję się na ten temat).

Nasza przekątna przekroju osiowego o dł. 14 cm to odcinek leżący pomiędzy kątami 60* oraz 30* zatem długości tej odpowiada zapis: \(4r\). Z tego wynika że:\(4r=14\) więc \(r=14:4=3,5\).

Następnie należy policzyć wysokość przekroju osiowego, co jest już sprawą prostą bo można to zrobić używając Tw. Pitagorasa:
\(h^2+(2r)^2=14^\)
\(h^2+(2\cdot 3,5)^2=14^2\)
\(h^2+7^2=14^2\)
\(h^2=14^2-7^\)
\(h^2=196-49\)
\(h^2=147\)
\(h=\sqrt{147}=\sqrt{7\cdot7\cdot3}=7\sqrt{3}\)

Teraz należy tylko podstawić wyniki do wzoru na pole powierzchni bocznej:
\(Pb=2\cdot \pi \cdot r \cdot h=2\cdot \pi \cdot 3,5 \cdot 7\sqrt{3}=2\cdot3,5\cdot7\sqrt{3}=49\sqrt{3}(cm^2)\)

Mam nadzieję, że pomogłam
Pozdrawiam

[acht]

(własności tego trójkąta wynikają z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym ale w gimnazjum nie ma chyba jeszcze tego w materiale nauczania, dlatego nie rozpisuję się na ten temat).

Można to też ładnie wytłumaczyć na przykładzie trójkąta równobocznego i twierdzenia Pitagorasa