funkcje

[nuska9]

Zad.1.Wykaż ,że jeśli a>0, to\(\frac{a^2+1}{a+1} \ge \frac{a+1}{2}\)
Zad.2.Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych x,y różnych od zera i takich, że\(x \neq y i x \neq y\), wartość wyrażenia \((\frac{x}{x-y}- \frac{2xy}{x^2-y^2} + \frac{x}{x+y} ) :( \frac{2x}{x+y}\) jest liczbą całkowitą.

[Galen]

2)Sprowadź wyrażenie w pierwszym nawiasie do wspólnego mianownika i wykonaj działania.
\(\frac{x(x+y)-2xy+x(x-y)}{x^2-y^2} \cdot \frac{x+y}{2x}=
= \frac{x^2+xy-2xy+x^2-xy}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x+y}{2x}= \frac{2x^2-2xy}{x-y} \cdot \frac{1}{2x}=
= \frac{2x(x-y)}{(x-y) \cdot 2x}=1 \in C\)

[Galen]

1)Zapisz nierówność równoważną z zerem po prawej stronie i wykonaj działania z lewej strony nierówności.
\(\frac{a^2+1}{a+1} \ge \frac{a+1}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;a>0
\frac{a^2+1}{a+1}- \frac{a+1}{2} \ge 0\)
Lewa strona ma postać:
\(\frac{(a^2+1) \cdot 2}{2(a+1)}- \frac{(a+1)(a+1)}{2(a+1)}=
= \frac{2a^2+2-(a^2+2a+1)}{2(a+1)}= \frac{2a^2+2-a^2-2a-1}{2(a+1)}= \frac{a^2-2a+1}{2(a+1)}=
= \frac{(a-1)^2}{2(a+1)} \ge 0\)
Licznik jest kwadratem liczby,zatem jest nieujemny,mianownik jest dodatni ,zatem całe wyrażenie jest nieujemne,czyli
większe lub równe zero.(Równe zero dla a=1)

[gpl1260]

Krócej: na początek pomnożyć stronami przez a+1. Można to zrobić (i otrzymamy nierówność równoważną) bo a>0.