ostrosłup czworokatny

[domaradzka200131]

ostrosłup czworokatny ma wysokosc przystajaca do wysokosci stozka. jakie długosci maja krawedzie tego ostrosłupa, gdy objetosc jest równa objetosci stozka o promieniu 2 i tworzacej 4???

[Lbubsazob]

Chyba powinno być tak:

Wysokość stożka o promieniu \(2\) i tworzącej \(4\) to \(2\sqrt3\) (połowa trójkąta równobocznego).
\(V_{\mbox{stozka}}= \frac{1}{3} P_p H \\
P_p=\pi \cdot 2^2=4\pi \\
V= \frac{8\pi \sqrt3 }{3}\)

\(V_{\mbox{ostroslupa}}= \frac{1}{3}P_p \cdot 2\sqrt3 \\
\frac{2\sqrt3}{3}P_p= \frac{8\sqrt3 \pi}{3} \\
P_p=4\pi \\
a^2=4\pi \Rightarrow a=2 \sqrt{\pi}\)

Połowa przekątnej podstawy o boku \(2\sqrt{\pi}\) to \(\sqrt{\pi} \cdot \sqrt2\). Z tw. Pitagorasa mamy:
\(\left(\sqrt{\pi} \cdot \sqrt2 \right)^2+ \left(2\sqrt3 \right)^2=k^2 \\
2\pi +12=k^2 \\
2(\pi+6)=k^2 \\
k= \sqrt{2(\pi+6)}\)

[irena]

H- jednakowa wysokość tych brył
a- krawędź podstawy ostrosłupa
b- krawędź boczna ostrosłupa

\(H^2+2^2=4^2\\H^2=16-4\\H^2=12\\H=2\sqrt{3}\\V_s=\frac{1}{3}\pi\cdot2^2\cdot2\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi\)

\(V_o=\frac{1}{3}a^2\cdot2\sqrt{3}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}\\\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\pi\\2a^2=8\pi\\a^2=4\pi\\a=2\sqrt{\pi}\)

\((\frac{a\sqrt{2}}{2})^2+H^2=b^2\\\frac{a^2}{2}+H^2=b^2\\b^2=2\pi+12\\b=\sqrt{2\pi+12}\)