wykaż że:
a)jeśli \(x \varepsilon NW\)to pierwiastek z \(\sqrt{2x+3}\) \(\varepsilon NW\)
b) \(\sqrt{3}\) jet liczbą \(NW\)
wykaż że
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Lbubsazob
- Fachowiec
- Posty: 1909
- Rejestracja: 28 maja 2010, 08:51
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękowania: 40 razy
- Otrzymane podziękowania: 898 razy
- Płeć:
b)
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że \(\sqrt3\) jest liczbą wymierną, tzn. można przedstawić ją w postaci \(\frac{k}{n}\), gdzie \(k\) i \(n\) są liczbami względnie pierwszymi i \(k\in \mathbb{Z}, \ n\in \mathbb{N}\). Ale wtedy:
\(\frac{k^2}{n^2}=3 \\
k^2=3n^2\)
Stąd wynika, że \(k\) jest podzielne przez 3 (nie jest liczbą pierwszą), tzn. \(k=3l\) dla pewnej liczby całkowitej \(l\). Wstawiając do powyższej równości otrzymujemy:
\((3l)^2=3n^2 \\
9l^2=3n^2 \\
n^2=3l^2\)
Zatem \(n\) jest również podzielne przez 3, co przeczy założeniu, że \(k\) i \(n\) są względnie pierwsze. Sprzeczność.
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że \(\sqrt3\) jest liczbą wymierną, tzn. można przedstawić ją w postaci \(\frac{k}{n}\), gdzie \(k\) i \(n\) są liczbami względnie pierwszymi i \(k\in \mathbb{Z}, \ n\in \mathbb{N}\). Ale wtedy:
\(\frac{k^2}{n^2}=3 \\
k^2=3n^2\)
Stąd wynika, że \(k\) jest podzielne przez 3 (nie jest liczbą pierwszą), tzn. \(k=3l\) dla pewnej liczby całkowitej \(l\). Wstawiając do powyższej równości otrzymujemy:
\((3l)^2=3n^2 \\
9l^2=3n^2 \\
n^2=3l^2\)
Zatem \(n\) jest również podzielne przez 3, co przeczy założeniu, że \(k\) i \(n\) są względnie pierwsze. Sprzeczność.