Rozważmy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na osi OX, a pozostałe dwa mają dodatnie rzędne i leżą na paraboli
y = -x^2 +6x. Oblicz obwód prostokąta o możliwie największym polu.
parabola + prostokąt
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
heja
- Fachowiec
- Posty: 1231
- Rejestracja: 07 lut 2009, 11:28
- Podziękowania: 32 razy
- Otrzymane podziękowania: 385 razy
rysunku nie zrobię,bo nie umiem,ale spróbuję Ci pomóc,y=-x^2+6x=-x(x-6);miejsca zerowe tej funkcji to x=0 lub x=6;wierzchołek paraboli ma współrzędne W=(3,9);z treści zadania wynika,że xE(0,6);obierz dwa punkty na osi OX,jednakowo odległe od prostej x=3(tj.oś symetri paraboli),oznacz je np.A=(x1;0) i B=(x2;0);wystaw prostopadłe z A i B do osi OX i punkty przecięcia tych prostopadłych z parabolą oznacz odpowiednio przez C i D;mamy więc C=(x2;y) i D=(x1;y);IABI=ICDI=Ix2-x1I=x2-x1;IBCI=ADI=-x2^2+6x2;teraz skorzystamy z zaleznosci,że (x1+x2)/2=3,czyli x1+x2=6,dalej x1=6-x2;pole prostokataP=AB X CB;P(x2)=(x2-6+x2) (-x2^2+6x2)=-2x2^2+18x2^2-36x2;teraz liczymy pochodną P"(x)=-6x2^2+36x2-36;miejsca zerowe pochodnej to x2=3-pierw.z 3 lub x2=3+pierw. z 3;jeśli x2przyjmniesz 3-pierw. z 3 ,to x1=3+pierw. z 3 i odwrotnie,zatem mamy:AB=CD=x2-x1=2pierw.z 3,oraz BC=AD=6,P(max)=2pierw. z 3 x 6 =12pierw.z 3;obwód prostokąta o max polu będzie = 2(AB + BC) =2(2pierw. z 3 +6)=4(pierw.z 3 +3),powodzenia