Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
alutka1008
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 05 paź 2010, 17:38
- Podziękowania: 64 razy
Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta.
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD,w którym IABI=1,IBCI=pierwiastek kwadratowy z 2.Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1.Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między 2 sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
-
alutka1008
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 05 paź 2010, 17:38
- Podziękowania: 64 razy
Ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równoramiennymi. Te, zbudowane na krawędziach o długości 1, to trójkąty równoboczne. Te, zbudowane n krawędziach o długości \(\sqrt{2}\) to równoramienne trójkąty prostokątne, bo
\(1^2+1^2=(\sqrt{2})^2\).
Żeby znaleźć kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi, należy przekroić ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do jednej z krawędzi. Niech to będzie przekrój płaszczyzną prostopadłą do krawędzi CS, przechodzący przez punkt D i punkt K na krawędzi SC. Ponieważ trójkąt CDS jest równoboczny, więc odcinek DK jest wysokością tego trójkąta. Czyli \(|DK|=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Poza tym K to środek krawędzi SC.
Odcinek KL, gdzie L należy do BC, jest odcinkiem prostopadłym do SC. Odcinek KL jest więc równoległy do BS, więc jego długość jest równa połowie długości BS. Czyli \(|KL|=\frac{1}{2}\)
Trójkąt DLK jest przekrojem ostrosłupa, w który kąt \(DKL\) to szukany kąt między ścianami bocznymi.
Punkt L to środek boku BC prostokąta ABCD.
Z trójkąta DCL:
\(|DC|^2+|CL|^2=|DL|^2\\1^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=|DL|^2\\|DL|^2=1+\frac{1}{2}\\|DL|^2=\frac{3}{2}\\|DL|=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Mamy więc trójkąt DKL, w którym \(\angle DKL=\alpha\). Długości boków:
\(|DK|=\frac{\sqrt{3}}{2}\\|LK|=\frac{1}{2}\\|DL|=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Z twierdzenia cosinusów:
\((\frac{\sqrt{6}}{2})^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}cos\alpha\)
\(\frac{3}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\ cos\alpha\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\ cos\alpha=-\frac{1}{2}\ /\cdot(2\sqrt{3})\\3cos\alpha=-\sqrt{3}\\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1^2+1^2=(\sqrt{2})^2\).
Żeby znaleźć kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi, należy przekroić ostrosłup płaszczyzną prostopadłą do jednej z krawędzi. Niech to będzie przekrój płaszczyzną prostopadłą do krawędzi CS, przechodzący przez punkt D i punkt K na krawędzi SC. Ponieważ trójkąt CDS jest równoboczny, więc odcinek DK jest wysokością tego trójkąta. Czyli \(|DK|=\frac{\sqrt{3}}{2}\). Poza tym K to środek krawędzi SC.
Odcinek KL, gdzie L należy do BC, jest odcinkiem prostopadłym do SC. Odcinek KL jest więc równoległy do BS, więc jego długość jest równa połowie długości BS. Czyli \(|KL|=\frac{1}{2}\)
Trójkąt DLK jest przekrojem ostrosłupa, w który kąt \(DKL\) to szukany kąt między ścianami bocznymi.
Punkt L to środek boku BC prostokąta ABCD.
Z trójkąta DCL:
\(|DC|^2+|CL|^2=|DL|^2\\1^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=|DL|^2\\|DL|^2=1+\frac{1}{2}\\|DL|^2=\frac{3}{2}\\|DL|=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Mamy więc trójkąt DKL, w którym \(\angle DKL=\alpha\). Długości boków:
\(|DK|=\frac{\sqrt{3}}{2}\\|LK|=\frac{1}{2}\\|DL|=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
Z twierdzenia cosinusów:
\((\frac{\sqrt{6}}{2})^2=(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}cos\alpha\)
\(\frac{3}{2}=1-\frac{\sqrt{3}}{2}\ cos\alpha\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\ cos\alpha=-\frac{1}{2}\ /\cdot(2\sqrt{3})\\3cos\alpha=-\sqrt{3}\\cos\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}\)
-
alutka1008
- Czasem tu bywam
- Posty: 139
- Rejestracja: 05 paź 2010, 17:38
- Podziękowania: 64 razy