rozwiąż nierówność

[celia11]

proszę o pomoc w zrozumieniu:

\(\sqrt{10+x} + \sqrt{10-x} <6\)

\(D:x \in <-10,10>\)

I teraz nie rozumiem, czy mam podnosić do kwadratu obie strony?
Czy powinnam przenieść jakieś wyrażenie na drugą stronę i dlaczego??

dziękuję

[domino21]

podnieść stronami do kwadratu możesz, gdy masz pewność, że obie strony są nieujemne, tutaj taka pewność jest, więc:

\(\sqrt{10+x}+\sqrt{10-x}<6
10+x+2\sqrt{(10+x)(10-x)}+10-x<36
20+2\sqrt{100-x^2}<36
10+\sqrt{100-x^}<18
\sqrt{100-x^2}<8\)
znów podniesiemy stronami do kwadratu, bo obie strony są nieujemne:

\(100-x^2<64
x^2-36>0
(x-6)(x+6)>0
x\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty)\)

co po konfrontacji z dziedziną daje ostateczny wynik \(x\in <-10;-6)\cup (6;10>\)

[celia11]

a co będzie w takiej sytuacji?

\(\sqrt{3x+1} + \sqrt{x-4} < \sqrt{4x+5}\)

\(D:x \in <4+ \infty )\)


tak podnoszę do kwadraty czy coś przenosze na drugą stronę?

[celia11]

tu wychodzi, że mamy również po prawj i lewej liczby dodatnie

[domino21]

tak, czyli podnosisz do kwadratu
gdyby było powiedzmy coś takiego:
\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4} < \sqrt{4x+5}\)
to wtedy należałoby \(\sqrt{x-4}\) przenieść na drugą stronę i dopiero podnieść do kwadratu

[celia11]

ale dlaczego?

[irena]

gdyby było powiedzmy coś takiego:
\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4} < \sqrt{4x+5}\)
to wtedy należałoby \(\sqrt{x-4}\) przenieść na drugą stronę i dopiero podnieść do kwadratu

Ale dziedzina tej nierówności to liczby większe lub równe 4. I tutaj też mamy po obu stronach liczby dodatnie w całej dziedzinie. I chyba nie trzeba przenosić?

[irena]

Do Celii.
Nierówność \(a<b\) jest równoważna nierówności \(a^2<b^2\) wtedy, kiedy obie liczby: a i b są liczbami dodatnimi. Jeśli nie wiemy, jakiego znaku są liczby a i b, to nie możemy z nierówności \(a<b\) przejść do nierówności \(a^2<b^2\).
Na przykład:
\(-3<2\), ale \((-3)^2>2^2\)

[celia11]

no właśnie, sprawdzałam dla 4 i mi pasowało, że z lewej i prawej są liczby dodatnie, już dostaję kręćka z tymi pierwiastkami.

Gdy mam nierównośc z pierwiastkami, to określam dziedzinę, sprawdzam czy z lewej i prawej strony są liczby dodatnie i następnie podnoszę do kwadratu a na koniec szukam części wspólnej dziedziny i rozwiazania tej nierównosci.

Jeśli chodzi o równania również z pierwiastkami to:
określam dziedzinę
podnoszę do kwadratu
jeśli pozbywam się pierwiastka, to, to co było pod pierwiastkiem jest w module? i obliczam w przedziałach?
Na koniec dodaję wyniki z przedziałaów i szukam części w spólnej z dziedziną?

czy dobrze rozumuję?


dziekuję bardzo:))))))

[celia11]

Do Celii.
Nierówność \(a<b\) jest równoważna nierówności \(a^2<b^2\) wtedy, kiedy obie liczby: a i b są liczbami dodatnimi. Jeśli nie wiemy, jakiego znaku są liczby a i b, to nie możemy z nierówności \(a<b\) przejść do nierówności \(a^2<b^2\).
Na przykład:
\(-3<2\), ale \((-3)^2>2^2\)

jeśli nie możemy, to co wtedy robimy?

[irena]

Jeśli podnosisz do kwadratu wyrażenie z pierwiastkiem to nie masz modułu, bo ustalając dziedzinę zastrzegasz sobie, że wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest ujemne.
Przykład:
\(\sqrt{2x-5}>3\\x \ge 2,5\\2x-5>9\\2x>14\\x>7\)

Moduł wstawiasz przy przykładach:
\(\sqrt{(2x-5)^2}>3\\x \in R\\|2x-5|>3\\2x-5>3\ \vee \ 2x-5<-3\\x>4\ \vee \ x<1\)

[irena]

Do Celii.
Nierówność \(a<b\) jest równoważna nierówności \(a^2<b^2\) wtedy, kiedy obie liczby: a i b są liczbami dodatnimi. Jeśli nie wiemy, jakiego znaku są liczby a i b, to nie możemy z nierówności \(a<b\) przejść do nierówności \(a^2<b^2\).
Na przykład:
\(-3<2\), ale \((-3)^2>2^2\)

jeśli nie możemy, to co wtedy robimy?

Wtedy właśnie- na przykład przenosimy coś na drugą stronę. Albo- jeśli liczby po obu stronach nierówności są ujemne- mnożymy obie strony nierówności przez (-1).

[celia11]

Jeśli podnosisz do kwadratu wyrażenie z pierwiastkiem to nie masz modułu, bo ustalając dziedzinę zastrzegasz sobie, że wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest ujemne.
Przykład:
\(\sqrt{2x-5}>3\)

Moduł wstawiasz przy przykładach:
\(\sqrt{(2x-5)^2}>3\\x \in R\\|2x-5|>3\\2x-5>3\ \vee \ 2x-5<-3\\x>4\ \vee \ x<1\)

czyli,

jeśli mam równanie lub nierówność w których jest pierwiastek lub kilka pierwiastków, to jeśli jest taka postać \(\sqrt{2x-5}>3\) podnoszę do kwadratu, to juz modułu nie nakładam na to co było pod pierwiastkiem, ponieważ zastrzegłam juz w dziedzinie - że pod pierwiastkiem jest liczba większa lub równa zero.

jeśli mam taką nierówność lub równanie \(\sqrt{(2x-5)^2}>3\) to to co było pod pierwiastkiem po skróceniu z kwadratem musi byc pod modułem, więc obliczam w przedziałach. Ale czy dziedzinę wtedy określam czy nie?

dziękuję

[irena]

Wartość wyrażenia \((2x-5)^2\) jest zawsze nieujemna, więc dziedziną tu będzie cały zbiór liczb rzeczywistych.
Dziedzinę określa się zawsze. Pomija sie najczęściej przykłady oczywiste, jak na przykład w przypadku równania liniowego lub równania czy nierówności wielomianowej. Jeśli nie piszemy dziedziny, to znaczy to, że dziedziną jest cały zbiór R.

[domino21]

gdyby było powiedzmy coś takiego:
\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4} < \sqrt{4x+5}\)
to wtedy należałoby \(\sqrt{x-4}\) przenieść na drugą stronę i dopiero podnieść do kwadratu

Ale dziedzina tej nierówności to liczby większe lub równe 4. I tutaj też mamy po obu stronach liczby dodatnie w całej dziedzinie. I chyba nie trzeba przenosić?

irena, dobrze mówisz..
nie przemyślałem tego przykładu, ale fakt faktem obie strony muszą być dodatnie