rozwiąż nierówność
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1860
- Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
- Podziękowania: 341 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
rozwiąż nierówność
proszę o pomoc w zrozumieniu:
\(\sqrt{10+x} + \sqrt{10-x} <6\)
\(D:x \in <-10,10>\)
I teraz nie rozumiem, czy mam podnosić do kwadratu obie strony?
Czy powinnam przenieść jakieś wyrażenie na drugą stronę i dlaczego??
dziękuję
\(\sqrt{10+x} + \sqrt{10-x} <6\)
\(D:x \in <-10,10>\)
I teraz nie rozumiem, czy mam podnosić do kwadratu obie strony?
Czy powinnam przenieść jakieś wyrażenie na drugą stronę i dlaczego??
dziękuję
- domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
podnieść stronami do kwadratu możesz, gdy masz pewność, że obie strony są nieujemne, tutaj taka pewność jest, więc:
\(\sqrt{10+x}+\sqrt{10-x}<6
10+x+2\sqrt{(10+x)(10-x)}+10-x<36
20+2\sqrt{100-x^2}<36
10+\sqrt{100-x^}<18
\sqrt{100-x^2}<8\)
znów podniesiemy stronami do kwadratu, bo obie strony są nieujemne:
\(100-x^2<64
x^2-36>0
(x-6)(x+6)>0
x\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty)\)
co po konfrontacji z dziedziną daje ostateczny wynik \(x\in <-10;-6)\cup (6;10>\)
\(\sqrt{10+x}+\sqrt{10-x}<6
10+x+2\sqrt{(10+x)(10-x)}+10-x<36
20+2\sqrt{100-x^2}<36
10+\sqrt{100-x^}<18
\sqrt{100-x^2}<8\)
znów podniesiemy stronami do kwadratu, bo obie strony są nieujemne:
\(100-x^2<64
x^2-36>0
(x-6)(x+6)>0
x\in (-\infty;-6)\cup (6;+\infty)\)
co po konfrontacji z dziedziną daje ostateczny wynik \(x\in <-10;-6)\cup (6;10>\)
Ale dziedzina tej nierówności to liczby większe lub równe 4. I tutaj też mamy po obu stronach liczby dodatnie w całej dziedzinie. I chyba nie trzeba przenosić?domino21 pisze: gdyby było powiedzmy coś takiego:
\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4} < \sqrt{4x+5}\)
to wtedy należałoby \(\sqrt{x-4}\) przenieść na drugą stronę i dopiero podnieść do kwadratu
-
- Fachowiec
- Posty: 1860
- Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
- Podziękowania: 341 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
no właśnie, sprawdzałam dla 4 i mi pasowało, że z lewej i prawej są liczby dodatnie, już dostaję kręćka z tymi pierwiastkami.
Gdy mam nierównośc z pierwiastkami, to określam dziedzinę, sprawdzam czy z lewej i prawej strony są liczby dodatnie i następnie podnoszę do kwadratu a na koniec szukam części wspólnej dziedziny i rozwiazania tej nierównosci.
Jeśli chodzi o równania również z pierwiastkami to:
określam dziedzinę
podnoszę do kwadratu
jeśli pozbywam się pierwiastka, to, to co było pod pierwiastkiem jest w module? i obliczam w przedziałach?
Na koniec dodaję wyniki z przedziałaów i szukam części w spólnej z dziedziną?
czy dobrze rozumuję?
dziekuję bardzo:))))))
Gdy mam nierównośc z pierwiastkami, to określam dziedzinę, sprawdzam czy z lewej i prawej strony są liczby dodatnie i następnie podnoszę do kwadratu a na koniec szukam części wspólnej dziedziny i rozwiazania tej nierównosci.
Jeśli chodzi o równania również z pierwiastkami to:
określam dziedzinę
podnoszę do kwadratu
jeśli pozbywam się pierwiastka, to, to co było pod pierwiastkiem jest w module? i obliczam w przedziałach?
Na koniec dodaję wyniki z przedziałaów i szukam części w spólnej z dziedziną?
czy dobrze rozumuję?
dziekuję bardzo:))))))
-
- Fachowiec
- Posty: 1860
- Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
- Podziękowania: 341 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
jeśli nie możemy, to co wtedy robimy?irena pisze:Do Celii.
Nierówność \(a<b\) jest równoważna nierówności \(a^2<b^2\) wtedy, kiedy obie liczby: a i b są liczbami dodatnimi. Jeśli nie wiemy, jakiego znaku są liczby a i b, to nie możemy z nierówności \(a<b\) przejść do nierówności \(a^2<b^2\).
Na przykład:
\(-3<2\), ale \((-3)^2>2^2\)
Jeśli podnosisz do kwadratu wyrażenie z pierwiastkiem to nie masz modułu, bo ustalając dziedzinę zastrzegasz sobie, że wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest ujemne.
Przykład:
\(\sqrt{2x-5}>3\\x \ge 2,5\\2x-5>9\\2x>14\\x>7\)
Moduł wstawiasz przy przykładach:
\(\sqrt{(2x-5)^2}>3\\x \in R\\|2x-5|>3\\2x-5>3\ \vee \ 2x-5<-3\\x>4\ \vee \ x<1\)
Przykład:
\(\sqrt{2x-5}>3\\x \ge 2,5\\2x-5>9\\2x>14\\x>7\)
Moduł wstawiasz przy przykładach:
\(\sqrt{(2x-5)^2}>3\\x \in R\\|2x-5|>3\\2x-5>3\ \vee \ 2x-5<-3\\x>4\ \vee \ x<1\)
Wtedy właśnie- na przykład przenosimy coś na drugą stronę. Albo- jeśli liczby po obu stronach nierówności są ujemne- mnożymy obie strony nierówności przez (-1).celia11 pisze:jeśli nie możemy, to co wtedy robimy?irena pisze:Do Celii.
Nierówność \(a<b\) jest równoważna nierówności \(a^2<b^2\) wtedy, kiedy obie liczby: a i b są liczbami dodatnimi. Jeśli nie wiemy, jakiego znaku są liczby a i b, to nie możemy z nierówności \(a<b\) przejść do nierówności \(a^2<b^2\).
Na przykład:
\(-3<2\), ale \((-3)^2>2^2\)
-
- Fachowiec
- Posty: 1860
- Rejestracja: 22 lut 2009, 15:26
- Podziękowania: 341 razy
- Otrzymane podziękowania: 5 razy
irena pisze:Jeśli podnosisz do kwadratu wyrażenie z pierwiastkiem to nie masz modułu, bo ustalając dziedzinę zastrzegasz sobie, że wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest ujemne.
Przykład:
\(\sqrt{2x-5}>3\)
Moduł wstawiasz przy przykładach:
\(\sqrt{(2x-5)^2}>3\\x \in R\\|2x-5|>3\\2x-5>3\ \vee \ 2x-5<-3\\x>4\ \vee \ x<1\)
czyli,
jeśli mam równanie lub nierówność w których jest pierwiastek lub kilka pierwiastków, to jeśli jest taka postać \(\sqrt{2x-5}>3\) podnoszę do kwadratu, to juz modułu nie nakładam na to co było pod pierwiastkiem, ponieważ zastrzegłam juz w dziedzinie - że pod pierwiastkiem jest liczba większa lub równa zero.
jeśli mam taką nierówność lub równanie \(\sqrt{(2x-5)^2}>3\) to to co było pod pierwiastkiem po skróceniu z kwadratem musi byc pod modułem, więc obliczam w przedziałach. Ale czy dziedzinę wtedy określam czy nie?
dziękuję
Wartość wyrażenia \((2x-5)^2\) jest zawsze nieujemna, więc dziedziną tu będzie cały zbiór liczb rzeczywistych.
Dziedzinę określa się zawsze. Pomija sie najczęściej przykłady oczywiste, jak na przykład w przypadku równania liniowego lub równania czy nierówności wielomianowej. Jeśli nie piszemy dziedziny, to znaczy to, że dziedziną jest cały zbiór R.
Dziedzinę określa się zawsze. Pomija sie najczęściej przykłady oczywiste, jak na przykład w przypadku równania liniowego lub równania czy nierówności wielomianowej. Jeśli nie piszemy dziedziny, to znaczy to, że dziedziną jest cały zbiór R.
- domino21
- Expert
- Posty: 3725
- Rejestracja: 27 mar 2009, 16:56
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękowania: 3 razy
- Otrzymane podziękowania: 1298 razy
- Płeć:
- Kontakt:
irena, dobrze mówisz..irena pisze:Ale dziedzina tej nierówności to liczby większe lub równe 4. I tutaj też mamy po obu stronach liczby dodatnie w całej dziedzinie. I chyba nie trzeba przenosić?domino21 pisze: gdyby było powiedzmy coś takiego:
\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-4} < \sqrt{4x+5}\)
to wtedy należałoby \(\sqrt{x-4}\) przenieść na drugą stronę i dopiero podnieść do kwadratu
nie przemyślałem tego przykładu, ale fakt faktem obie strony muszą być dodatnie