Rozwiąż równania i nierówności:

[milka87]

Bardzo proszę o pomoc w poniższych przykładach:

\(a)|4-2x|+|-x+3|=5
b) 9-|2x-5|>|x-1|
c) x^4+x^3-5x^2-3x+2 \le 0
d) -x^4+x^3+6x^2 \ge 0\)

[irena]

a)
\(|4-2x|= \begin{cases}4-2x\ dla\ x \le 2\\2x-4\ dla\ x>2 \end{cases}\)

\(|-x+3|= \begin{cases}-x+3\ dla\ x \le 3\\x-3\ dla\ x>3 \end{cases}\)

\(x \le 2\\4-2x-x+3=5\\-3x=-2\\x=\frac{2}{3}\)

\(2<x \le 3\\2x-4-x+3=5\\x=6\ \notin (2,\ 3>\)

\(x>3\\2x-4+x-3=5\\3x=12\\x=4\)

Odp.: \(x=\frac{2}{3}\ \vee \ x=4\)

[irena]

b)
\(|2x-5|= \begin{cases}2x-5\ dla\ x \ge 2,5\\-2x+5\ dla\ x<2,5 \end{cases}\)

\(|x-1|= \begin{cases}x-1\ dla x \ge 1\\-x+1\ dla x<1 \end{cases}\)

1.
\(x<1\\9-(-2x+5)>-x+1\\9+2x-5>-x+1\\3x>-3\\x>-1\ \wedge \ x<1\\x \in (-1,\ 1)\)

2.
\(1 \le x<2,5\\9-(-2x+5)>x-1\\9+2x-5>x-1\\x>-5\ \wedge \ x \in <1,\ 2,5)\\x \in <1;\ 2,5)\)

3.
\(x \ge 2,5\\9-(2x-5)>x-1\\9-2x+5>x-1\\-3x>-15\\x<5\ \wedge \ x \in \ <2,5,\ \infty )\\x \in <2,5;\ 5)\)

Odp.:
\(x \in (-1,\ 5)\)

[irena]

3.
\(x^4+x^3-5x^2-3x+2=(x-2)(x+1)(x^2+2x-1)\\x^2+2x-1=0\\\Delta=4+4=8\\\sqrt{\Delta}=2\sqrt{2}\\x_1=\frac{-2-2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}-1\ \vee \ x_2=\frac{-2+2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}-1\)

\(x \in <-\sqrt{2}-1;\ -1>\ \cup \ <\sqrt{2}-1;\ 2>\)

[irena]

d)
\(-x^4+x^3+6x^2 \ge 0\\-x^2(x^2-x-6) \ge 0\\x^2(x+2)(x-3) \le 0\\x \in <-2,\ 3>\)