CIĄGI ARYTMETYCZNE

[m.milewska]

witam, mam tu kilka zadań, których w ogóle nie mogę rozgryźć. Jeśli ktoś mógłby napisać mi rozwiązanie do przynajmniej jednego,byłabym bardzo wdzięczna:)

[]-do kwadratu

Zad1.
Zbadaj monotoniczność ciągu An
a) An=4n-n[]
b) An= pierwiastek z n+4 [całe wyrażenie n+4 pod pierwiastkiem]
c) An=sin pi/2 n
Zad 2.
Naszkicuj wykres ciągu o podanych wyrazach początkowych. Podaj wzór ogólny tego ciągu:
a) 4,2,1,1/2,1/4
b)1,-2,3,-4,5
c)1,-1,1,-1,1,-1
d)-3,-2,-1,0,1

Zad3.
Ciąg An jest rosnący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Co można powiedzieć o monotoniczności ciągu Bn?
a) Bn=3An-1
b) Bn= -2An+4
c) Bn= 1/Am

Zad4.
Ciąg An jest malejący i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Co można powiedzieć o monotoniczność ciągu Bn?
a) Bn=4An-1
b) Bn=-An[]
c) Bn = pierwiastek z An[]+1 [całe wyrażenie pod pierwiastkiem]

Zad 5. Rozwiąż zad 3 i 4 przy założeniu, że ciąg An ma wszystkie wyrazy ujemne.

Zad 6.
a) W ciągu arytmetycznym suma wyrazów pierwszego i siódmego jest równa 2,natomiast suma wyraów trzeciego i szóstego jest równa 1. Oblicz wyraz pierwszy i różnicę tego ciągu.
b)W ciągu arytmetycznym suma wyrazów drugiego i trzeciego jest równa -4,natomiast różnica wyrazów szóstego i dziesiątego jest równa 8. Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
c) W ciągu arytmetycznym suma wyrazów czwartego i siódmego jest równy 22. Wyznacz wzór ogólny tego ciągu.

Zad 7.
Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Jaką długość ma druga przyprostokątna oraz przeciwprostokątna [rozważ dwie możliwości]?

Zad 8.
Długości boków prostokąta i długość jego przekątnej tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz długości boków,jeśli:
a)obwód prostokąta jest równy 14
b)pole prostokąta jest równe 48

Zad 9 .
Oblicz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych,które:
a)są podzielne przez 3
b)przy dzieleniu przez 5 dają resztę 2
c)są większe od 20,mniejsze od 120 i przy dzieleniu przez 7 dają resztę 1
d) są niepodzielne przez 5
e) są podzielne przez 4 lub są podzielne przez 6

Zad 10. Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 6. Oblicz sumę siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
[To nie ja zjadłam jakieś dane,tylko chyba autorzy zadania,ale nie wiem...może po prostu nie umiem tego zrobić z takimi tylko danymi....]

Zad 11. Ciąg arytmetyczny składa się z szesnastu wyrazów. Suma wyrazów o numerach parzystych jest równa 256, a suma wyrazów o numerach nieparzystych jest równa 240. Oblicz pierwszy i ostatni wyraz tego ciągu.

Zad 12. Sn jest sumą n początkowych wyrazów ciągu An. Wyznacz wzór ogólny ciągu. Czy jest to ciąg arytmetyczny?
a)Sn=n[]
b)Sn=n[]-1
c)Sn=n do sześcianu - 1

Zad 13.
Zbadaj monotoniczność ciągu An
a) An= 1+2+3+...+n/n+1
b) An=2+4+6+...+2n/n[]

Z góry wielkie dzięki.

[Pol]

zadanie 1

tu masz przykłady i idee rozwiązywania takich zadań:
http://www.zadania.info/d649/7712499

zadanie 2

wykres czyli punkty na układzie współrzędnych
(1, 4), (2, 2), (3, 1) itd

a) \(a_n = 4 \cdot (\frac 1 2)^{n-1)\)
b) \(a_n = (-1)^{n+1} \cdot n\)
c) \(a_n = (-1)^{n+1}\)
d) \(a_n = -3 + (n-1)(-1)\)

zadanie 3

można skorzystać z tego samego sposobu co dla zadania 1 lub uzasadnić "słownie", ja wybrałem pierwszy sposób

a) rosnący
b) malejący
c) malejący

zadanie 4

podobnie jak wyżej

a) malejący
b) malejący
c) malejący

[m.milewska]

dzięki bardzo:)
ale ja odpowiedzi mam, tylko właśnie nie wiem, skąd one się wzięły...

to może napiszę odpowiedzi:

Zad1 (wiem,jak się to sprawdza, nie wiem tylko dlaczego w tych przykładach wyszło właśnie tak)
a)nie jest monotoniczny
b)rosnący
c)nie jest monotoniczny

Zad 2.
a) An=2/2 do potęgi n-3 malejący
b)An = [(-1)do potęgo n+1] * n nie jest monotoniczny
c) An = (-1) do potęgi n+1 nie jest monotoniczny
d) An=n-4 rosnący

Zad 3
a)rosnący
b)malejący
d)malejący

Zad 4
a) malejący
b)rosnący
d)malejący

Zad 5
(z zad 3):
a)rosnący
b) malejący
d) rosnący
(z zad 4):
a)malejący
b)rosnący
c)malejący

Zad 6.
a) A1= 4, r=-1
b) A1=1 , r=-2
c) An=3n-10

Zad 7
6,10 lub 9/2, 15/2

Zad 8.
a) 3,4
b) 6,8

Zad 9.
a) 1665
b) 981
c)945
d) 3960
e) 1566

Zad 10.
42

Zad 11.
A1=16, A16= 46

Zad 12.
a) An= 2n-1 ,tak
b) {o dla n=1
An={
{2n-1 dla n>1 , nie

c) {0 dla n=1
An={
{3n[] - 3n + 1 , dla n>1 , nie

Zad 13.
a) An=n/2 , rosnący
b) An = 1 + 1/n ,malejący

[Pol]

zadanie 1

a)

\(a_{n+1}-a_n = [4(n+1)-(n+1)^2]-[4(n)-(n)^2] = 4n + 4 - n^2 - 2n - 1 - 4n + n^2 = - 2n + 3\)
nie jest monotoniczny, nie da się jednoznacznie określić czy > 0 czy < 0

b)

\(a_{n+1}-a_n = \sqrt {n+1+4} - \sqrt {n+4} > 0\)
ciąg rosnący

c)

to n jest pod sinusem?

zadanie 2

naszkicować chyba potrafisz, jeśli chodzi o wzory

a) malejący ciąg geometryczny: a1 = 4 ; q = 1/2 i podstawiasz to do ogólnego wzoru na \(a_n\) w ciągu geometrycznym

b) ciąg niemonotoniczny, widać że kolejne wyrazy to po prostu n (\(a_n = n\)) ale każdy ma przeciwny znak, dlatego trzeba użyć \((-1)^{n+1}\) co daje \(a_n = (-1)^{n+1}\cdot n\)

c) wyrazy ciągu to po prostu 1 z przeciwnymi znakami \(a_n = (-1)^{n+1}\)

d) rosnący ciąg arytmetyczny: a1 = -3; r = -1; podstaiwasz to do ogólnego wzoru na \(a_n\) w ciągu arytmetycznym

zadanie 3

trzbea zbadac \(b_{n+1}-b_n\)

a) \(b_{n+1}-b_n = 3a_{n+1} - 1 - 3a_{n+1} + 1 = 3(a_{n+1} - a_{n+1}) > 0\) (ponieważ to co w nawiasie jest dodatnie - z treści zadania)

b) \(b_{n+1}-b_n = -2a_{n+1}+4+2a_{n}-4=-2(a_{n+1}-a_{n}) < 0\) (ponieważ to co w nawiasie jest dodatnie i pomnożone przez ujemną liczbę)

c) \(b_{n+1} - b_n = \frac 1 {a_{n+1}} - \frac 1 {a_{n}} = \frac {a_{n}-a_{n+1}} {{a_{n+1} {a_{n}}} < 0\)

[supergolonka]

4. http://www.zadania.info/8066017
6. http://www.zadania.info/7230574
7. http://www.zadania.info/3093600
8. http://www.zadania.info/2487651
9. http://www.zadania.info/2607133
10. http://www.zadania.info/9907772
11. http://www.zadania.info/9408687
12. http://www.zadania.info/4121278
13. http://www.zadania.info/2272627

[kisieliciastka]

ktos wie ak to rozwiazac? nie uzyje zadnego lateksu ani nic takiego bo spiesze sie;/
znajdz 3 poczatkowe wyrazy ciagu arytmetycznego wiedzac ze a2(na dole) + a5(na dole) =27 , a4(na dole) -a1(na dole) =3

[Kasienka]

\(a_2+a_5=27\)
\(a_4-a_1=3\)

\(a_2=a_1+r\)
\(a_5=a_1+4r\)
\(a_4=a_1+3r\)

\(a_1+r+a_1+4r=27\)
\(a_1+3r-a_1=3\)

3r=3
r=1

\(2a_1=27-5\)
\(a_1=11\)

\(a_2=11+1=12\)
\(a_3=11+2=13\)

Odp. Trzy początkowe wyrazy tego ciągu to 11, 12, 13.

[kisieliciastka]

wielkie dzieki kocham was ludzie

[kojo]

a1=3 r=2 n=20 an=?
a1=63 r=-2i1/3 n=? an28
a1=? r=8 n=15 an=-88
a1=0,5 r=? n=21 an=10,5

czy jest ktoś w stanie mi pomóc rozwiązać taką tabelkę?? oczywiście z obliczeniami.. niestety nie pamiętam jak to się robi a zacząłem ponownie szkołę muszę to zaliczyć;/

[mint1234]

an=a1+(n-1)*r

an=3+(20-1)2
an=3+19*2
an=3+38
an=41

28=63+(n-1)-2 i 1/3
28=63+(-2 i 1/3n +2 i 1/3)
28=63- 2 i 1/3 n + 2 i 1/3
28=-2 i 1/3n+ 65 i 1/3
-2 i 1/3n + 65 i 1/3=28
-2 i 1/3n=28-65 i 1/3
-2 i 1/3n=-37 i 1/3 /: (-2 i 1/3)
n= w przybliżeniu 16

-88=a1+(15-1)8
-88=a1+14*8
-88=a1+112
a1+112=-88
a1=-88-112
a1=-200

10,5=0,5+(21-1)r
10,5=0,5+20r
20r+0,5=10,5
20r=10,5-0,5
20r=10 /:20
r=1/2

[kojo]

wielkie dzięki za pomoc;)

[anka]

n nie może być równe w przybliżeniu

\(28=63+(n-1)\cdot (-2\frac{1}{3})\\
28=63-\frac{7}{3}n+\frac{7}{3}\\
\frac{7}{3}n=63+\frac{7}{3}-28\\
\frac{7}{3}n=\frac{112}{3}\\
n=16\)