Zadanie tekstowe i geometria

[Alice]

1.W koszu były pomarańcze. Najpierw Jurek wziął 1/5 wszystkich pomarańczy i jeszcze 4, potem Robert 1/4 pozostałej liczby pomarańczy i jeszcze 3, kolejno wzięła Beata 1/3 pozostałej liczby i 2 pomarańcze, ostatni wziął Krzysztof 1/2 pozostałej liczby pomarańczy i jeszcze 4. Ile pomarańczy pozostało w koszyku, jeżeli+ wszyscy czworo wzięli razem 55 pomarańczy?

2.Oblicz stosunek pól dwóch figur, na jakie podzieliła koło cięciwa o długości równej promieniowi tego koła.

3.Obwód prostokąta wynosi 80cm. Dwusieczna jednego z kątów dzieli obwód na dwie części różniące się o 20cm. Oblicz pole prostokąta.

4.W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty styczności wyznaczają wierzchołki trójkąta KLM, którego katy wewnętrzne maja miary \(\alpha ,\ \beta ,\ \gamma\) . Oblicz miary katów wewnętrznych trójkąta ABC.

[Galen]

1)
x-liczba pomarańczy
(x-55)-szukana liczba pomarańczy,które pozostały w koszu.
Jurek: \(\frac{1}{5} \cdot x+4\)
Robert: \(\frac{1}{4} \cdot [x-( \frac{1}{5}x+4)]+3= \frac{1}{4}( \frac{4}{5}x-4)+3= \frac{1}{5}x+2\)
Beata: \(\frac{1}{3}[x-({ \frac{2}{5}x+6)]+2= \frac{1}{3}( \frac{3}{5}x-6)+2= \frac{1}{5}x\)
Krzysztof:\(\frac{1}{2}[x- (\frac{3}{5}x+6)]+4= \frac{1}{5}x+1\)
Razem:
\(\frac{4}{5}x+7=55
\frac{4}{5}x=48
x=48 \cdot \frac{5}{4}
x=60
x-55=60-55=5\)
Pozostało 5 pomarańczy.

[Galen]

2)
Cięciwa o długości r wraz z promieniami łączącymi jej końce ze środkiem koła tworzy trójkąt równoboczny.
Pole tego trójkąta \(S= \frac{r^2 \cdot \sqrt{3} }{4}\)
Odcinek koła ma pole równa różnicy pól wycinka koła o kącie środkowym 60 stopni i trójkąta równobocznego o boku r.
\(P_o= \frac{60}{360} \pi \cdot r^2-S\)
Druga część koła (większa) ma pole:
\(P_w= \frac{300}{360} \pi \cdot r^2 +S\)
Stosunek pól:
\(\frac{P_w}{P_o}= \frac{ \frac{5}{6} \pi r^2+S }{ \frac{1}{6} \pi r^2-S }= \frac{5 \pi r^2+6S}{ \pi r^2-6S}\)

[Galen]

3)
Wykonaj rysunek.Dwusieczna wytnie Ci trójkąt prostokątny równoramienny o przyprostokątnych b.Druga część to trapez prostokątny
o podstawach a i (a-b).
\(Ob_w-Ob_m=a+b+(a-b)-2b=2a-2b=20\)
obwód prostokąta \(2a+2b=80\)
Rozwiąż układ równań:
\(\{2a-2b=20\\2a+2b=80\)
\(\{a-b=10\\a+b=40\)
\(\{a=25\\b=15\)
Pole \(P_p=ab=25 \cdot 15=375\)

[tometomek91]

4)
Niech środek tego okręgu nazywa się O oraz \(K \in AC\) i \(L \in AB\). Teraz, korzystając z zależności pomiędzy kątem wpisanym a środkowym, opartym na tym samym łuku oraz z tego, że na czworokątach AKOM, BMOL, ALOK można opisać okręgi (dlaczego?), obliczamy miary kątów trójkąta ABC.
Pozdrawiam!