Polecenie brzmi: zbadaj czy istnieją takie wartości paramtrów a i b \((a,b \in \mathbb{R})\), dla których funkcja jest ciągła i różniczkowalna w zbiorze R.
\(f(x)=\begin{cases} 4-\frac{1}{2}bx^{2} \ \ \ dla \ \ x \in (-\infty, 2) \\ \frac{2}{x} -a \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ x \in \langle 2, +\infty) \end{cases}\)
Ciągłość: \(\lim_{x \to 2^{-}} \ 4-\frac{1}{2}bx^{2}=4-2b\) oraz \(\lim_{x \to 2^{+}} \ \frac{2}{x} -a=1-a\). Dostajemy równanie: \(4-2b=1-a\).
Dalej, załóżmy, że h<0, wtedy \(x_{0}+h=2+h<2\) i:
\(f(x_{0}+h)=4-\frac{1}{2}b(2+h)^{2}=4-\frac{1}{2}bh^{2}-2bh-2b\\
f(x_{0})=f(2)=\frac{2}{2}-a=1-a\)
Liczymy pochodną:
\(\lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{4-\frac{1}{2}bh^{2}-2bh-2b-1+a}{h}=...\)
i itutaj jest moje pytanie: jak obliczyć taką granicę? W podręczniku mam trochę inaczej:
\(\lim_{h \to 0^{-}} \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}= \lim_{h \to 0^{-}} \frac{4-\frac{1}{2}bh^{2}-2bh-2b-4+2b}{h}=...\)
czyli wg podręcznika \(f(x_{0})=f(2)=4-2b\). Dlaczego w ten sposób?
Problem z różniczkowalnością funkcji
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
- Podziękowania: 42 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Problem z różniczkowalnością funkcji
Ostatnio zmieniony 03 lip 2010, 11:12 przez tometomek91, łącznie zmieniany 2 razy.
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
- Podziękowania: 42 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
Domyślam się, że \(f(x_{0})\) to nie \(1-a\), ale: \(f(x_{0})=f(2)=4-\frac{1}{2}b \cdot 2^{2}=4-2b\). Dlaczego korzystamy z "pierwszego" wzoru, jakim opisana jest funkcja? Wtedy wszystko ładnie wychodzi, ale co zrobić jak będzie przykład:
\(f(x)=\begin{cases} 4-\frac{1}{2}bx^{2} \ \ \ dla \ \ x \in (-\infty, 0 \rangle \\ \frac{2}{x} -a \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ x \in (0, +\infty) \end{cases}\)
Wtedy, gdy chcę policzyć granicę prawostronną, przy h dążącym do zera i h>0, to
\(f(x_{0})=f(0)=...\) tutaj "pierwszy", czy "drugi" wzór funkcji?
\(f(x)=\begin{cases} 4-\frac{1}{2}bx^{2} \ \ \ dla \ \ x \in (-\infty, 0 \rangle \\ \frac{2}{x} -a \ \ \ \ \ \ \ \ dla \ \ x \in (0, +\infty) \end{cases}\)
Wtedy, gdy chcę policzyć granicę prawostronną, przy h dążącym do zera i h>0, to
\(f(x_{0})=f(0)=...\) tutaj "pierwszy", czy "drugi" wzór funkcji?
-
- Czasem tu bywam
- Posty: 133
- Rejestracja: 05 wrz 2009, 18:57
- Podziękowania: 42 razy
- Otrzymane podziękowania: 4 razy
-
- Guru
- Posty: 18457
- Rejestracja: 17 sie 2008, 15:23
- Podziękowania: 4 razy
- Otrzymane podziękowania: 9162 razy
\(f'(x)\) możesz obliczać z wzorów na pochodne,chyba,że jest polecenie nakazujące korzystanie z definicji.
\(f'(x)=\{-bx\;dla x \in (- \infty ;2)\\ \frac{-2}{x^2}\;dla x \in <2;0) \cup (0;+ \infty )\)
\(\lim_{x\to 2^-}f'(x)=-2b\)
\(\lim_{x\to 2^+}f'(x)= \frac{-1}{2}\)
Układ równań:
\(\{4-2b=1-a\\-2b= \frac{-1}{2}\)
Tak jest szybciej i bardziej przejrzyście.
\(f'(x)=\{-bx\;dla x \in (- \infty ;2)\\ \frac{-2}{x^2}\;dla x \in <2;0) \cup (0;+ \infty )\)
\(\lim_{x\to 2^-}f'(x)=-2b\)
\(\lim_{x\to 2^+}f'(x)= \frac{-1}{2}\)
Układ równań:
\(\{4-2b=1-a\\-2b= \frac{-1}{2}\)
Tak jest szybciej i bardziej przejrzyście.
Wszystko jest trudne,nim stanie się proste.