Wykazać równość

[tometomek91]

Dana jest funkcja \(f(x)=-2x^2+199x+100\). Wykaż, że:
\(f(0)+f(1)+f(2)+...+f(99)=1^2+2^2+3^2+...+100^2\)

[irena]

Najłatwiej tu chyba skorzystać z zależności:
\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Można tę równość udowodnić przy pomocy indukcji matematycznej:

\(n=1\\1^2=1\\\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1\)

Równość prawdziwa dla n=1.

Założenie:
\(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Teza:
\(1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}\)

Dowód:
\(L=1^2+2^2+3^2+...+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^2=\\=\frac{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)^2}{6}=\frac{(n+1)(2n^2+n+6n+6)}{6}=\\=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}=P\)

Stąd:

\(1^2+2^2+3^2+...+99^2=\frac{99\cdot100\cdot199}{6}\)

\(L=f(0)+f(1)+f(2)+...f(99)=-2(1^2+2^2+3^2+...+99^2)+199(1+2+3+...+99)+100\cdot100=\\=-2\cdot\frac{99\cdot100\cdot199}{6}+199\cdot\frac{100\cdot99}{2}+100^2=\\=\frac{-2\cdot99\cdot100\cdot199+3\cdot99\cdot100\cdot199}{6}+100^2=\frac{99\cdot100\cdot199}{6}+100^2=\\=1^2+2^2+3^2+...+99^2+100^2=P\)