2 zad. o ostrosłupach i 2 inne

[Redorianin]

1. Oblicz:
\(\left[( \frac{6}{5})^-^1 + ( \frac{2}{3})^-^2 - ( \frac{3}{4})^-^1 \right] ^-^2\)
2. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci (usuwając niewymierność):
\(\frac{6}{ \sqrt{45} } + \frac{15}{ \sqrt{20} } + \frac{1}{ \sqrt{125} }\)
3. Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy równej 4 i wysokości równej 3.
4. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa czworokątnego, którego każda krawędź ma długość 4cm.

Z góry dziękuje za pomoc,

[irena]

1.
\([(\frac{6}{5})^{-1}+(\frac{2}{3})^{-2}-(\frac{3}{4})^{-1}]^{-2}=[\frac{5}{6}+\frac{9}{4}-\frac{4}{3}]^{-2}=[\frac{10}{12}+\frac{27}{12}-\frac{16}{12}]^{-2}=(\frac{21}{12})^{-2}=(\frac{7}{4})^{-2}=\frac{16}{49}\)

2.
\(\frac{6}{\sqrt{45}}+\frac{15}{\sqrt{20}}+\frac{1}{\sqrt{125}}=\frac{6}{3\sqrt{5}}+\frac{15}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{5\sqrt{5}}=\\=\frac{2}{\sqrt{5}}+\frac{15}{2\sqrt{5}}+\frac{1}{5\sqrt{5}}=\frac{20+75+2}{10\sqrt{5}}=\frac{97}{10\sqrt{5}}=\frac{97\sqrt{5}}{50}\)

[Lbubsazob]

Zad. 3
h - wysokość podstawy
H - wysokość ostrosłupa
k - krawędź boczna

\(a=4 \Rightarrow h=2 \sqrt{3} \Rightarrow \frac{2}{3}h= \frac{4 \sqrt{3} }{3}\)

Z Pitagorasa:
\(\left( \frac{2}{3}h \right)^2+H^2=k^2\\
\left( \frac{4 \sqrt{3} }{3} \right)^2+3^2=k^2\\
\frac{48}{9}+9=k^2 \\
k^2= \frac{129}{9}\\
k= \frac{ \sqrt{129} }{3}\)

[irena]

3.
a=4- krawędź podstawy
H=3- wysokość ostrosłupa
b- krawędź boczna
R- promień okręgu opisanego na trójkącie podstawy (2/3 wysokości trójkąta)
\(R=\frac{2}{3}\cdot\frac{4\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

R, H i b tworzą trójkąt prostokątny
\(H^2+R^2=b^2\\b^2=(\frac{4\sqrt{3}}{3})^2+3^2\\b^2=\frac{48}{9}+9\\b^2=\frac{129}{9}\\b=\frac{\sqrt{129}}{3}\)

[irena]

4.
Pole podstawy:
\(P_p=4^2=16cm^2\)

Ściany boczne to trójkąty równoboczne. Pole powierzchni bocznej:
\(P_b=4\cdot\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}cm^2\)

Pole powierzchni:
\(P_c=16+16\sqrt{3}=16(\sqrt{3}+1)cm^2\)

b- krawędź boczna
H- wysokość ostrosłupa
R- promień okręgu opisanego na podstawie (polowa przekątnej kwadratu)
\(R=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}cm\\H^2+R^2=b^2\\H^2+(2\sqrt{2})^2=4^2\\H^2=16-8\\H^2=8\\H=2\sqrt{2}cm\)

Objętość:
\(V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{2}=\frac{32\sqrt{2}}{3}cm^3\)

[irena]

Zad. 4
Mamy do czynienia z czworościanem foremnym.
\(V= \frac{a^2 \sqrt{2} }{12}\\
V= \frac{16 \sqrt{2} }{12}= \frac{4 \sqrt{2} }{3} \\
\\
P_c=4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} }{4}=16 \sqrt{3}\)

To nie jest czworościan foremny, tylko ostrosłup czworokątny! (Czworościan foremny to bryła, której wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi)

[Lbubsazob]

To nie jest czworościan foremny, tylko ostrosłup czworokątny! (Czworościan foremny to bryła, której wszystkie cztery ściany są trójkątami równobocznymi)

Dzięki za zwrócenie uwagi. Zamiast "czworokątny" przeczytałam "trójkątny", porażka...

[Galen]

W zadaniu pierwszym wkradł się błąd.
Powinno być:
\((\frac{10+27-16}{12})^-^^2= (\frac{21}{12})^-^2=( \frac{7}{4})^-^2=( \frac{4}{7})^2 = \frac{16}{49}\)

[irena]

OK. Dzięki