Bryła powstała w wyniku obrotu trójkąta

[teodore]

Oblicz objętość bryły powstałej w wyniku obrotu trójkąta \(ABC\) wokół najdłuższego z boków wiedząc, że punkty \(A\), \(B\) i \(C\) są punktami przecięcia się prostych:

(1) \(y = - \frac{2}{5} x + \frac{17}{5}\),
(2) \(y = - x + 7\),
(3) \(y = \frac{1}{2} x + \frac{5}{2}\).

Jak się za to zadanie zabrać? Znaleźć punkty \(A\), \(B\) i \(C\), ale co dalej?

[Galen]

Rozwiązujesz układy równań,żeby wyznaczyć punkty wspólne prostych.
\(\{y=-0,4x+3,4\\y=-x+7\)
\(-0,4x+3,4=-x+7 \Rightarrow x=6 \wedge y=1 \Rightarrow A=(6;1)\)
\(\{y=-0,4x+3,4\\y=0,5x+2,5\)
\(0,5x+2,5=-0,4x+3,4 \Rightarrow x=1 \wedge y=3 \Rightarrow B=(1;3)\)
\(\{y=0,5x+2,5\\y=-x+7\)
\(0,5x+2,5=-x+7 \Rightarrow x=3 \wedge y=4 \Rightarrow C=(3;4)\)
Najdłuższy bok to \(|AB|= \sqrt{29}\)
Obracając trójkąt dokoła tego boku otrzymujesz dwa stożki o wspólnej podstawie,a suma ich wysokości
daje długość odcinka AB.Promień podstawy obliczysz jako odległość punktu C od prostej AB.
Równanie prostej AB:
\(y=- \frac{2}{5}x+ \frac{17}{5} \Leftrightarrow 2x+5y-17=0\)
\(r= \frac{|2 \cdot 3+5 \cdot 4-17}{ \sqrt{29} }= \frac{9}{ \sqrt{29} }\)
Objętość:
\(V= \frac{1}{3} \pi \cdot r^2 \cdot |AB|\)
\(V= \frac{1}{3} \pi \cdot ( \frac{9}{ \sqrt{29} })^2 \cdot \sqrt{29}\)
\(V= \pi \cdot \frac{27}{29} \cdot \sqrt{29}\)

[teodore]

Dzięki wielkie! Jest "łapka"