Graniastosłup

[mathematics]

Witam !

Proszę o pomoc w tych zadaniach...

1. W graniastosłupie czworokątnym w podstawie jest romb o boku 9 i kącie ostrym 60°. Krótsza przekątna graniastosłupa tworzy z podstawą kąt o mierze 45°. Oblicz objętość graniastosłupa.

2. Pola powierzchni trzech ścian prostopadłościanu są równe 8, 16 i 32. Podaj wymiary prostopadłościanu i jego objętość.

[irena]

1.
Jeśli ostry kąt rombu ma \(60^o\), to jego krótsza przekątna wraz z dwoma bokami tworzy trójkąt równoboczny. Czyli- krótsza przekątna rombu ma długość 9.
Przekątna ta wraz z wysokością graniastosłupa i krótszą przekątną graniastosłupa tworzy trójkąt prostokątny o kącie \(45^o\), czyli trójkąt równoramienny. Wysokość graniastosłupa ma więc również długość 9.
Pole podstawy:
\(P_p=9^2sin60^o=81\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{81\sqrt{3}}{2}\)

Objętość:
\(v=\frac{81\sqrt{3}}{2}\cdot9=\frac{729\sqrt{3}}{2}\)

2.
a, b, c- wymiary prostopadłościanu.

\(\begin{cases}ab=8\\ac=16\\bc=32 \end{cases}\)
Po wymnożeniu stronami mamy:
\(a^2b^2c^2=4096\\abc=64\\V=64\)

\(c=\frac{V}{ab}\\c=\frac{64}{8}=8\\b\cdot8=32\\b=4\\a\cdot8=12\\a=2\\ \begin{cases}a=2\\b=4\\c=8 \end{cases}\)

[Galen]

1)
Jeśli kąt ostry rombu ma\(60^ \circ\),to krótsza przekątna rombu dzieli go na dwa trójkąty równoboczne.
Narysuj taki romb i zobaczysz jak to wygląda.Wysokość rombu\(h= \frac{a \sqrt{3} }{2}\)
Trójkąt utworzony przez przekątną graniastosłupa,krótszą przekątną podstawy i krawędź boczną jest
równoramienny i prostokątny,bo ma kąt 45 stopni.Stąd wniosek,że wysokość tej bryły równa jest a.
\(V=a \cdot \frac{a \sqrt{3} }{2} \cdot a= \frac{a^3 \sqrt{3} }{2}\)

[Galen]

2)
\({ab=8\\ah=16\\bh=32\)
Podziel stronami równanie drugie przez pierwsze i otrzymasz:
\(\frac{h}{b}=2 \Rightarrow h=2b\)
Podstaw do trzeciego równania
\(b \cdot 2b=32 \Rightarrow b=4\)
\(h=2b=8 \wedge a=2\)

\(V=abc=2 \cdot 4 \cdot 8=64\)