Zadanie 1:
Udowodnij, że translacja zachowuje równoległość prostych i prostopadłość prostych.
Zadanie 2:
Udowodnij, że jednokładność zachowuje równoległosć prostych i prostopadłość prostych.
Zadanie 3:
Udowodnij, że symetria środkowa zachowuje równoległość prostych i prostopadłość prostych.
Proszę o chociaż niewielką podpowiedź.
Symetria, translacja i jednokładność.
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
Pomidor193
- Dopiero zaczynam
- Posty: 29
- Rejestracja: 02 kwie 2010, 17:53
- Podziękowania: 8 razy
1.
Pokazać trzeba, że obrazem prostej m jest prosta m' równoległa do prostej m.
Weźmy dowolną prostą m. Wybierzmy na niej dowolne różne punkty A i B oraz dowolną translację \(T_{\vec{u}}\)
\(T_{\vec{u}}(A)=A'\ \Leftrightarrow \ \vec{AA'}=\vec{u}\\T_{\vec{u}}(B)=B'\ \Leftrightarrow \ \vec{BB'}=\vec{u}\\\vec{AA'}=\vec{BB'}\ \Rightarrow \ (|AA'|=|BB'|\ \wedge \ AA' \parallel BB')\)
Wynika stąd, że czworokąt AA'B'B jest równoległobokiem, czyli \(AB \parallel A'B'\)
Jeśli n, m to dowolne proste:
\(T_{\vec{u}}(m)=m'\ \Rightarrow m \parallel m'\\T_{\vec{u}}(n)=n'\ \Rightarrow \ n' \parallel n\)
Jeśli zatem \(m \parallel n\ \Rightarrow \ m' \parallel n'\), bo proste równoległe do prostych równoległych są do siebie równoległe.
Jeśli \(m \perp n\ \Rightarrow \ m' \perp n'\), bo jeśli równoległe są proste \(m\ i\ m'\), to \(n \perp m\ \Rightarrow \ n \perp m'\) oraz \((n' \parallel n)\ \wedge n \perp m')\ \Rightarrow n' \perp m'\)
(proste równoległe tworzą ten sam kąt z prostą je przecinającą).
Ponieważ proste m i n to dowolne proste, więc stąd wniosek, że translacja zachowuje równoległość i prostopadłość prostych.
Pokazać trzeba, że obrazem prostej m jest prosta m' równoległa do prostej m.
Weźmy dowolną prostą m. Wybierzmy na niej dowolne różne punkty A i B oraz dowolną translację \(T_{\vec{u}}\)
\(T_{\vec{u}}(A)=A'\ \Leftrightarrow \ \vec{AA'}=\vec{u}\\T_{\vec{u}}(B)=B'\ \Leftrightarrow \ \vec{BB'}=\vec{u}\\\vec{AA'}=\vec{BB'}\ \Rightarrow \ (|AA'|=|BB'|\ \wedge \ AA' \parallel BB')\)
Wynika stąd, że czworokąt AA'B'B jest równoległobokiem, czyli \(AB \parallel A'B'\)
Jeśli n, m to dowolne proste:
\(T_{\vec{u}}(m)=m'\ \Rightarrow m \parallel m'\\T_{\vec{u}}(n)=n'\ \Rightarrow \ n' \parallel n\)
Jeśli zatem \(m \parallel n\ \Rightarrow \ m' \parallel n'\), bo proste równoległe do prostych równoległych są do siebie równoległe.
Jeśli \(m \perp n\ \Rightarrow \ m' \perp n'\), bo jeśli równoległe są proste \(m\ i\ m'\), to \(n \perp m\ \Rightarrow \ n \perp m'\) oraz \((n' \parallel n)\ \wedge n \perp m')\ \Rightarrow n' \perp m'\)
(proste równoległe tworzą ten sam kąt z prostą je przecinającą).
Ponieważ proste m i n to dowolne proste, więc stąd wniosek, że translacja zachowuje równoległość i prostopadłość prostych.
2.
Wystarczy pokazać, że jednokładność zachowuje kierunek prostej, czyli- tak, jak w translacji, obrazem prostej jest prosta do niej równoległa.
Weźmy dowolną prostą l oraz dowolną jednokładność \(J_O^k\). Wybierzmy na prostej l dwa dowolne różne punkty A i B.
\(J_O^k(a)=A'\ \Leftrightarrow \ \vec{OA'}=k\cdot\vec{OA}\\J_O^k(B)=B'\ \Leftrightarrow \ \vec{OB'}=k\cdot\vec{OA}\)
Proste AA' i BB' przecinają się w punkcie O oraz:
\(\frac{|OB'|}{|OA'|}=\frac{|k|\cdot|OB|}{|k|\cdot|OA|}=\frac{|OB'|}{|OA'|}=\frac{|OB|}{|OA|}\)
Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy, że \(AB \parallel A'B'\).
I dalej- podobnie do 1.
3.
Symetria środkowa o środku O jest równoważna jednokładności o środku O i skali równej -1, więc tak, jak każda jednokładność, zachowuje kierunek prostej.
Wystarczy pokazać, że jednokładność zachowuje kierunek prostej, czyli- tak, jak w translacji, obrazem prostej jest prosta do niej równoległa.
Weźmy dowolną prostą l oraz dowolną jednokładność \(J_O^k\). Wybierzmy na prostej l dwa dowolne różne punkty A i B.
\(J_O^k(a)=A'\ \Leftrightarrow \ \vec{OA'}=k\cdot\vec{OA}\\J_O^k(B)=B'\ \Leftrightarrow \ \vec{OB'}=k\cdot\vec{OA}\)
Proste AA' i BB' przecinają się w punkcie O oraz:
\(\frac{|OB'|}{|OA'|}=\frac{|k|\cdot|OB|}{|k|\cdot|OA|}=\frac{|OB'|}{|OA'|}=\frac{|OB|}{|OA|}\)
Na podstawie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa mamy, że \(AB \parallel A'B'\).
I dalej- podobnie do 1.
3.
Symetria środkowa o środku O jest równoważna jednokładności o środku O i skali równej -1, więc tak, jak każda jednokładność, zachowuje kierunek prostej.