Zadania z analizy matematycznej
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
Zadania z analizy matematycznej
http://www.mimuw.edu.pl/~baranski/teach ... 08-egz.pdf
Czy ktoś pomógłby rozwiązać zadania 2,4,7 z tego egzaminu.
Czy ktoś pomógłby rozwiązać zadania 2,4,7 z tego egzaminu.
-
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
Zad.2
\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( 2+4+6+...+2n \)\)
policzymy najpierw sumę:
\(a_1 = 2
a_n = 2n\)
wszystkich wyrazów jest \(n\)
\(S_n = 2+4+6+...+2n = \frac {2+2n} 2 \cdot n = n^2+n\)
\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \(2+4+6+...+2n \)= \lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( n^2+n \)\)
do pierwszego nawiasu zastosujemy wzór skróconego mnożenia:
\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \ \Rightarrow \ a-b = \frac {a^2-b^2}{a+b}\)
\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( n^2+n \)=\lim_{n\to \infty } \( \frac {n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \)^4 \cdot \( n^2+n \)=\lim_{n\to \infty } \frac {n^2+n}{\( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \)^4 }=\[ \frac {st. 2}{st. 2} \] = \frac {1} {16}\)
\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( 2+4+6+...+2n \)\)
policzymy najpierw sumę:
\(a_1 = 2
a_n = 2n\)
wszystkich wyrazów jest \(n\)
\(S_n = 2+4+6+...+2n = \frac {2+2n} 2 \cdot n = n^2+n\)
\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \(2+4+6+...+2n \)= \lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( n^2+n \)\)
do pierwszego nawiasu zastosujemy wzór skróconego mnożenia:
\(a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \ \Rightarrow \ a-b = \frac {a^2-b^2}{a+b}\)
\(\lim_{n\to \infty } \( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \)^4 \cdot \( n^2+n \)=\lim_{n\to \infty } \( \frac {n+1-n}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} \)^4 \cdot \( n^2+n \)=\lim_{n\to \infty } \frac {n^2+n}{\( \sqrt{n+1} + \sqrt{n} \)^4 }=\[ \frac {st. 2}{st. 2} \] = \frac {1} {16}\)
-
- Moderator
- Posty: 1026
- Rejestracja: 01 gru 2008, 10:00
- Lokalizacja: Częstochowa
- Otrzymane podziękowania: 137 razy
- Płeć:
Zad.4
Sposób pierwszy
\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
funkcja odwrotna, czyli tam gdzie "była" zmienna \(x\) będzie \(y\) i tam gdzie był \(y\) będzie \(x\)
\(x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\)
pytają nas o wartość funkcji odwrotnej dla \(x = 1\)
\(1=\frac{e^y-e^{-y}}{2}
e^y = t \ \Rightarrow \ t > 0
t^2-2t-1=0\)
\(t_1= 1-\sqrt{2} < 0
t_2 = 1+\sqrt{2}\)
\(e^y = 1+\sqrt{2}
y = ln \( 1 + \sqrt{2} \)\)
Sposób drugi
Funkcja \(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) to nic innego jak sinus hiperboliczny.
Wchodzimy na wikipedię Funkcje hiperboliczne odwrotne
interesuje nas funkcja pierwsza z wymienionych czyli \(arsinh \( x \) =ln \(x+\sqrt{x^2+1} \)\)
\(arsinh \( 1 \) =ln \(1+\sqrt{1+1} \)
arsinh \( 1 \) =ln \(1+\sqrt{2} \)\)
Sposób pierwszy
\(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
funkcja odwrotna, czyli tam gdzie "była" zmienna \(x\) będzie \(y\) i tam gdzie był \(y\) będzie \(x\)
\(x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}\)
pytają nas o wartość funkcji odwrotnej dla \(x = 1\)
\(1=\frac{e^y-e^{-y}}{2}
e^y = t \ \Rightarrow \ t > 0
t^2-2t-1=0\)
\(t_1= 1-\sqrt{2} < 0
t_2 = 1+\sqrt{2}\)
\(e^y = 1+\sqrt{2}
y = ln \( 1 + \sqrt{2} \)\)
Sposób drugi
Funkcja \(y=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\) to nic innego jak sinus hiperboliczny.
Wchodzimy na wikipedię Funkcje hiperboliczne odwrotne
interesuje nas funkcja pierwsza z wymienionych czyli \(arsinh \( x \) =ln \(x+\sqrt{x^2+1} \)\)
\(arsinh \( 1 \) =ln \(1+\sqrt{1+1} \)
arsinh \( 1 \) =ln \(1+\sqrt{2} \)\)